144 Ferdinand Lippich. 



Differentiirt man 58) nach t, und nennt u u und y die zur Zeit t = stattfindenden 

 Geschwindigkeiten, so findet man durch eine ähnliche Substitution wie oben 



f " Xußx-\- j l s,v d^ f a A" 4 u a dx -\- f E»»^ 



60) E= ü : — E;— 



f A" 2 Jx+ f S 2 rf? /' A 2 dx ~\- f 8 2 d£ 



Hiemit wäre der Zustand des Stabes zu jeder beliebigen Zeit gegeben durch die Aufangs- 

 werthe von y und u, so wie durch die übrigen Constanten und keine unbestimmte Grösse mehr 

 vorhanden. 



Die anzuwendenden Gleichungen sind jedoch complicirter Natur und die Schwingungs- 

 dauer, deren Kenntniss von besonderer Wichtigkeit ist, hängt von der Auflosung der weitläu- 

 figen transcendenten Gleichung 42) ab. Man muss sich daher begnügen, die Auflösung für die 

 am häufigsten vorkommenden Fälle wenigstens durch eine entsprechende Näherung zu geben, 



Vor Allem mag bemerkt werden, dass die Gleichung 42) sowohl als auch 43), 44), 53) 

 54), 56), 57) für äi = Ö, % =' 0, und für a = in die entsprechenden Gleichungen für unbe- 

 lastete Stäbe übergehen, nämlich in: 



cos sl (5of sl 4- 1 == 

 A = — 2E (cos sl + 6of sl) 

 61) A= %E{sinsl + ®tn.s2) 



X=2 (sin sl 4- ©in sl) (cos sx — (&q\sx) — 2 (cos sl-^- (äo\sl) (sin sx — Bin sx) 



y=X {E&in ys 2 t-\- E' cos ysH\j 



wenn man der Einfachheit wegen für A, A, X und y nur die ersteren Ausdrücke beibehält. 



Im Folgenden sind diese Gleichungen als Grundlage genommen, weil es besonders er- 

 leichtert und übersichtlicher macht, wenn man untersucht, welche Veränderungen durch das 

 Belasten an den entsprechenden Grössen bei unbelasteten Stäben hervorgebracht werden. 



a) Ist der Stab in irgend einem Punkte belastet , so kann man wohl annehmen, dass 3)1 

 nicht sehr gross sein wird, wenn anders die Bedingung, dass die angehängte Masse nur in 

 einem Punkte befestiget ist, wenigstens angenähert erfüllt wird. In dem Fall, wo die Masse 

 mit einer grösseren Fläche an den Stab anliegt, kann diese entweder nicht als blos träge an- 

 genommen werden, da sie eine Biegung erleiden wird, oder wenn sie absolut starr wäre, 

 würde in den Befestigungspunkt keine Biegung eintreten und daher der obere Theil des 

 Stabes, als von den untern getrennt, nur eine Belastung für diesen abgeben. 



Man darf also für a <C l immer annehmen , dass % und 11 keine grossen Werthe haben 

 werden. Berücksichtigt man noch, dass wenn M die Masse des Stabes, Tsein Trägheitsmoment 

 in Bezug auf eine durch seinen Endpunkt gehende, auf der Schwingungsebene senkrechte 

 Drehungsaxe, und U die Entfernung seines Schwerpunktes vom Befestigungspunkt bedeutet, 

 man haben wird 



<p ol = M, <?h-P = 3 T, <j>W = BMT = UP TP 



dass also, wenn man 



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