64) 



I sin <j — ■ f&m o 



t/ier t^'e transversaleii Schwingungen belasteter Stäbe. 147 



Hätte man also 



| sin <j 4- ©in a I j cos a — — (Jof a — I — | cos a -f @of <* I ( sin a ©in i- = 



I J sin a — - - ©in a — I 4- ( cos a 4- @of o I j cos o — — G»of a - j = 



cos o @o( 5 + 1 = 

 so wäre die Ausnahme vorhanden. 



Die erste der Gleichungen 64) ist aber identisch mit 61), wenn man X = und x == a 

 setzt, die zweite würde mit der Gleichung für X i zusammenfallen, nach gehöriger Transfor- 

 mation von 52). Die dritte Gleichung ist aber die für unbelastete Stäbe in 61). Die X = 

 und X x = geben diejenigen Werthe von x, für welche an dem unbelasteten Stab Knoten- 

 punkte auftreten, also zeigt sich, dass wenn die Masse an einem der möglichen Knotenpunkte 



n 

 befestiget wird, die zugleich mit a = (2w + 1) — auftreten, dadurch dieser Werth auch für den 



belasteten Stab derselbe bleibt, natürlich für dieselben Stellenzeiger der Tonhöhen. 



Man kann bemerken, dass sobald man & oder U nicht gleich setzt, dieser Fall nie ein- 

 treten wird , und in der That ist dann die angehängte Masse auch in einem Knotenpunkte als 

 in Bewegung zu betrachten. 



Durch die obige Analyse der beiden Curven gewinnt man einen Näherungswerth zur 

 Berechnung der Wurzeln,, denn wenn a eine Wurzel der Gleichung 62) bedeutet, wird man 

 setzen können 



o= (2n4-l)-J ± 5 



wo das obere Zeichen nur für die kleinste Wurzel eintreffen kann. 



Das £ ist für die grösseren Wurzelwerthe kleiner als 1, nur für die kleinste Wurzel könnte 



es auch grösser werden, da aber dann — 1 schon kleiner als 1 ist, so kann man im ersten 



Falle die Entwickelung^nack der Tailorschen, im zweiten nach der Maclaurin'schen Reihe 

 vornehmen, um eine möglichst rasche Convergenz *zu erhalten. 

 Es ist demnach zu setzen 



° =f H) ± w H) + rV" (* I) ± ■ ■ ■ ■ 



o =f (o) + af (o) 4- — /" (o) + . . . . 



Um aus der ersten dieser Reihen £ zu bestimmen, wird man diese Reihe so umkehren, 



f{*l) 



dass die Variable £ nach Potenzen von — - fortschreitet. Die zweite Reihe dürfte selten 



in Anwendung kommen, da sie ein grosses SR voraussetzt, dessen Trägheitsmoment wohl nicht 

 vernachlässigt werden kann, also Gleichung 26) überhaupt zu ungenau wird. Die erste Reihe 

 gibt nun, indem man mit p n Em den m tl " Polynominalcoefficienten der n ten Potenz der Reihe 



, t r- f'(*i) , (±s) s/ "K) 



(±£) + ^7kj + -7h) + - 



bezeichnet 



