102 Ferdinand Lippick. 



setzen, und hat daher, je nachdem man 84 a ) nach x oder y auflöst, T x = Bm, T = Am setzt, 

 die folgenden Doppelgleichungen 



tv ■ ( A -^ « A , J ) . . ( 5 „ 2t:A £ B ) 



S)x = a^--y l -— + ^ -.2. ± -^.y=b^- ^ + ~.+ « -2, ± -,> 



wo das untere Zeichen für negative £ oder vj zu nehmen ist. 



Will man alle möglichen 7/, die einem bestimmten x entsprechen, erhalten, so braucht 

 man nur für a und a alle möglichen "Werthe zu setzen, diese sind aber nur von bis A — 1 



zu nehmen, denn für grössere Werthe kehren sowohl dieselben ?/ als auch — wieder. Dasselbe 



' dt 



gilt von x bezüglich B — 1 und man schliesst: 



2. Eine auf Ox Senkrechte wird von der Curve im Allgemeinen 2A mal, 



eine auf Oy Senkrechte aber 2B mal geschnitten. Ist das Verhältniss — - 



■" 

 nicht durch ganze Zahlen ausdrückbar, so wird die Zahl der Durchschnitts- 

 punkte unendlich gross. 



Die Curven ändern sich mit dem A; kömmt man jedoch bei einem gewissen A an, so 

 kehren die Curven in derselben Ordnung wieder. Um dieses Intervall zu bestimmen, inner- 

 halb welchen man A zu variiren hat, um alle möglichen zu T,. und T„ erehöriaren Curven zu 

 umfassen, betrachte man die Gleichungen 82). Setzt man hier A' = A + o, so werden wohl 

 für dasselbe t andere x und y folgen, allein wenn nur von einer gewissen Zeit t -\- t an , so- 

 wohl die x und y als auch die Geschwindigkeitscomponenten identisch mit denen von o = 

 werden, so sind die beiden Curven selbst identisch. Dazu ist aber erforderlich, wenn y x mi, l 

 Y„ ganze Zahlen sind, dass man hat 



~ == T- T * • T + 8 = T, T v 

 woraus folgt 



und 



N 







/;/ 



= T, 4-- T , B 



denn man will ja den kleinsten Werth von 8, der obigen Bedingungen genügt. Da der rechte 

 Theil nur eine ganze Zahl sein kann, so muss es auch der linke, woraus man schliesst 



8 = to, 1 = T „ A — Tr B 



3. Um alle m ö glichen zu T x und T„ gehörenden C u r v e n zu erhalten, 

 liraucbt man A nur zwischen d e n G r e n z e n A = u n d A = m sich andern zu 

 lassen, und da A immer als ein Bruchtheil von m erscheint, so ist die Form 

 der Curven nur von A und B, nicht aber von T x und T v selbst abhängig. 



Setzt man das erste Differentiale von y und x der Nulle gleich, so erhält man die 

 Maxima oder Minima für die einzelnen Curvenäste , u. z. B. für y die Gleichung 



\B . x 2-A/ B 1 , ( . y)Bl 



= b cos {—. arc (sin = — ) -j- > — , = o. cos ■ arc (sm= -)>- 77= 



M a> mA\ A V 1 _- ( h 1 A V 1 — - 



