Über die transversalen Schwingungen belasteter Stäbe. 163 



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Diese Gleichung ist nur für # = + b erfüllt, und setzt man r i = ± — in den Ausdruck 



für x in S4 b ), so zeigt sich, dass aus R und R', die gleichen Werthen von r t und ß entsprechen 

 den x zusammenfallen, mithin nur 2 B verschiedene x für ?/ = ± 6 sein können. 



4. Construirt man sich um als Mittelpunkt ein Rechteck, dessen Sei- 

 ten parallel zu Oa; und Oy bezüglich die Längen 2a und 2 b haben so bleibt 

 die C urve innerhalb di e s es Rechteckes eingeschlossen, alle mit Ose und Oy 

 parallelen Tangenten fallen mit den Rech te ekseiten zusammen, die von der 

 C urve im ganzen 2 A -f 2 B mal, j ede einzelne aber, und zwar von denen zu 

 Ox parallelen B mal, von denen zu Oy parallelen aber A mal' tan girt werden. 



Nennt man y i und y 2 zwei zu demselben x gehörige y, und macht die Summe, so wird, 

 indem man diese y blos aus R oder R' genommen denkt. 



i> ) Vi + V* = '-'' sin < -EH — + («, + «*) -r w[ cos (a, — a ä ) - - 



[ vi vi A ) { A ) 



B) ll\ + y's = 25 sin — -(£ + tc) + ^ + («',+ a' 2 ) - irj cos \a'; — aV) ^ J 

 wo A = nua gesetzt ist, so dass cu einen echten Bruch bezeichnet. Jede dieser Summen wird 



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unabhängig von £ und A Null, wenn (cij — cc 2 ) — tt ein ungerades Vielfache von — ist. Dazu 



wird aber erfordert, dass A gerade sei, denn dann kann man a 1 und a.., so wählen, dass sie sich 



nur um — unterscheiden, d. h. zu gleicher Zeit setzen: 



a i = I 1 , 2 , 3 . . . .— - - 1 I, a 2 = | — , - -f 1 t-- 1 1 , wodurch alle a und somit alle 



mögliehen y umfasst werden, die zu einem bestimmten x gehören. Unter diesen sind also 

 immer je zwei gleich, dem Zeichen nach entgegengesetzt, woraus folgt: 



5. Ist A gerade, so sind die Curven, was auch A sei, symmetrisch in Bezu» 

 auf die Axe der x, und ebenso in Bezug auf Oy wenn B gerade ist, und da 

 A und B nicht zu gleicher Zeit gerade sein können, so wird mit Ausnahme 

 einiger gleich zu besprechender Fälle, nur eine Axe der Symmetrie vor- 

 kommen. 



Macht man die Summe zweier aus R und R' genommenen y, so ist: 



y + y =2&sm _ + (2a + a±l)-.- cos -£ ± --+ («-«') u 



A ' A 2 ) \A A 2 K ' A 



Dieser Ausdruck kann nicht mehr unabhängig von w für jedes x Null werden, um aber 

 die Abhängigkeit von tu zu finden, diene folgende Bemerkung. 



Es muss zunächst 4 <u -+- (2a+2a' ± 1) B ein gerades Vielfache von A sein = gA, dieses 



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erfordert vor Allem dass w = o oder tu = — für gerade B, w = — oder tu = — für ungerade 



B sei. Dann folgt weiter: 



o 



oA — 4w 



2 a + 2 a' + 1 = - — 



B 



der rechte Theil muss ungerade sein, weil es der linke ist, dieses ist aber immer für die 

 zusammengehörend angeführten w und B möglich. Aus 



