Übei' die transversalen Schwingungen belasteter Stäbe. 105 



der immer durch a — a' = n, wo n kleiner als A, genügt werden kann. Es ist dann für a = ?i, 

 a' = 0, für a = A — 1 , a = A — n — 1, es genügt aber auch n — A der obigen Gleichung, 

 und es wird für a = n — 1 , o! = A — 1 , <x = 0, a' = A — n, so dass alle möglichen et und a! 

 berücksichtigt sind. Was also in der zu u> gehörigen Curve auf der Seite der positiven x 



freieren war, liegt in der zu co -4 gehörigen auf der Seite der negativen x, und umgekehrt. 



Macht man noch dieselbe Untersuchung mit den Ausdrücken für x, und berücksichtigt 5), 



so folgt: 



. . . . 1 



7. Sind zwei Curven die zu denselben A und B gehören, in ihren tu um — 



verschieden, so sind diese der Form nach identisch, der Lage nach aber ver- 

 schieden, und zwar erhält man ans der zu u g e h ö ri g e n C u r v e , die z u tu -}- -— - 



gehörige, wenn man sich erstere um jene Coordinatenaxe gedreht denkt, die 

 keine Axe der Symmetrie ist. Für ungerade A und B bleibt also diese Axe ganz 

 willkürlich. 



Setzt man jedoch £ = E', und betrachtet den ersten Theil in y — y', so sieht man sogleich, 

 dass die Differenz Null wird, wenn 



Tz 2 0>+w') -f (2« -f- 2a' + 1) B 



2 " " A 



ein ungerades Vielfache von — ist. Ein ungerades B macht den ganzen Zähler ungerade, 



1 q 2 



wenn co 4- o>' nicht — oder — ist. Für gerade A müssen daher diese Werthe angenommen 



werden, damit der Quotient eine ungerade Zahl sein kann. Ist aber A ungerade, so muss 



1 3 



der Zählerauch ungerade sein, was für gerade B wieder nur für w -j- <o' = — oder w -f- u>' = — , 



für ungerade B aber nur für to -)- co' = 1 möglich ist. Berücksichtigt man noch das zu 6) 



erwähnte, dass nämlich die a immer diesen Bedingungen gemäss gewählt werden können, 



so folgt: 



1 



8. Für u n gerade ^1 und 5 sind die von tu = — , für .4 oder_Z?geradeaberdie 



13 ^ 



von tu = — oder tu = — im positiven und negativen Sinn zu gleich weit abstehe n- 



den tu gehörigen Curven der Gestalt und Lage nach identisch. 



Die zu den eben genannten Phasendifferenzen gehörigen Curven sind aber auch durch 

 ihre Gestalt von den übrigen ausgezeichnet. Denn setzt man 6 = 5' und tu = tu' so wird: 



y-y'=n cos j^-f ( 2a _2a' +l)|.|Jsin||8+C2a-2a' + I)^ . jj. 



Indem man bemerkt, dass der erste Factor identisch ist mit dem in 8) behandelten, kann 

 man sogleich sagen: 



9. Für ungerade A und B fallenfür tu = und tu' = — , für A oder B gerade 



aber für <o = — und o>' = -- die aus B) und R') durch Verändern des x sich erge- 

 4 4 



benden Curvenäste übereinander, die Curven erhalten in Folge dessen eine 



einfachere Gestalt, und die Anzahl der Tangirungspunkte sollte jetzt halb so 



. A B 



gross, ai s o — u n d — werde n. 



— a 



