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Es ist aber wenigstens eine von den Zahlen A und B ungerade, daher müssen gewisse 

 Aste so übereinander fallen, dass diese an die Seiten des Rechteckes kommen, ohne daselbst 

 zu tangiren, oder es müssen Rückkehrpunkte auftreten. An diesen werden aber die Richtungen 

 der Tangenten unbestimmt, daher muss für x = + a 



dy ( 4 ) B 1 



— = b . cos <arc (sin = )> 



da { b J \ A «/ 1 _ 



die Form — annehmen, oder ?/ = + b sein. 

 ' , a ~ 



Um sich zu überzeugen, dass für die in 9) erwähnten io wirklich diese Rückkehrpunkte 

 vorkommen, nehme man die Gleichung für y, die jetzt sowohl für R als auch für 7?' iden- 

 tisch wird: 



85) y = bsm\- l + -- + «J.2TT 



Darin braucht man wegen 7) nur einen von den zusammengehörigen Werthen von tu zu 

 betrachten, da diese um — von einander verschieden sind. Für £== + -- soll nun y = ± b 

 werden. — Sind daher A und B ungerade, so muss, x = 4~ a vorausgesetzt. 



(4a 4 li B 



eine ungerade Zahl werden. Dieser Bedingung kann aber immer genügt werden , denn setzt 

 man zu gleicher Zeit: 



4 ' 4 4 



wodurch a eine ganze Zahl wird, weil A 2 — 1 immer durch 4 theilbar ist, zugleich positiv 

 und kleiner als A bleibt, so kommt: 



(4« + 1) B 



— = pB = (1, 3,) B 



da p nur 1 oder 3 sein kann. 

 Für x = — ■ a setze man 



A 7 P , * A-—1 



— =. k + J, * = (Je + 1) A — 



dann wird: 



«= + iL»= (4^)1, = (5,1,)* 



so dass die a* = a und as = — a entsprechenden y immer entgegengesetzte Zeichen haben. 

 Ist aber B gerade, daher u> = 1 , so muss jetzt x = 4- « vorausgesetzt, 



l + (4«+l)J 



eine ungerade Zahl werden. Man kann aber a immer aus der Gleichung bestimmen 



(4a— »4) B = A — B —\ 



