168 Ferdinand Lippich. 



eine ganze Zahl sein muss, so genügt man dieser Bedingung, indem man n = B setzt, wo 

 dann m <C B bleiben muss, denn es ist immer möglich der Gleichung 



— m -f- (a — a) p' 

 ^^ -4- IC 



A 



durch einen positiven oder negativen Werth von a — a zu genügen, der kleiner als A ist, und 

 k eine o-anze Zahl bedeutet. Ist 5 = a — a' so umfasst man zugleich alle möglichen a', wenn 

 a alle möglichen "Werthe annimmt, denn es genügt ja auch — A + 8 der vorigen Gleichung. 



Es ordnen sich also alle zu ? = — - -f — gehörigen y so , dass immer je zwei aus R 



und B' genommene übereinanderfallen , mithin gibt es für jedes £, A solcher Durchschnitts- 

 punkte. 



Dieses sind jedoch noch nicht alle möglichen vielfachen Punkte, denn es würden auch 

 die zu R und R' gehörigen Curvenäste sich untereinander und nicht blos gegenseitig schnei- 

 den. Allein Punkte, die der Gleichung für y zu Folge z. ß. dem aus R genommenen Curven- 

 äste angehören, gehören in den Gleichungen für x, zweien aus R und R' sich ergebenden an. 

 In der That zwei in Bezug auf// nur zu R gehörende Curvenäste können sich nicht schneiden, 

 wenn sie nicht wenigstens einmal die zu Ox parallelen Rechteckseiten tangirt haben. Da aber 

 in den Tano-irungspunkten die aus R und R' kommenden Curvenäste zusammentreffen, so ist 

 obh'-e Behauptung erwiesen und gleichgiltig. ob man zur Bestimmung der übrigen vielfachen 

 Punkte die Differenzen der aus R und R' folgenden für jede Reihe besonders bildet, oder ob 

 man in den Gleichungen für x, die Differenzen solcher aus R und R' genommenen untersucht. 

 Für diese Differenzen x ■ — x' gelten aber dieselben Schlüsse, man hat nur A mit B zu ver- 

 wechseln. 



TZ m TZ III it i . • 



Berücksichtigt man also die "N erthe: £ = — - — tc, vj =- ic, und die zugehörigen 



y und x, so gelangt man zu folgender Construction. 



11. Man beschreibe über zwei, zu OJ und OY parallelen Rechteck- 

 seiten zwei Halbkreise und theile den mit dem Radius a in B, den mit 

 b in A gleiche Theile (Fig. 4, Taf. I). Zieht man durch diese Theilungs- 

 punkte Parallele zuOFund OX, so liegen auf einer jeden der ersterni, 

 auf einer jeden der l e t z t e r n B vielfache Punkte. Alle vielfachen Punkte 

 finden sich auf diesen Geraden v er t heilt, bleiben auf denselben, wie 

 sich a u c h io ä ndern m a g , so dass sie nur eine Verschiebung in den 

 oben genannten Geraden erleiden und ihre Anzahl ist: 



A (B — 1) + B (A — 1) = 2A B - (A + B) 

 Die unter 9) erwähnten Curven müssen auch weniger vielfache Punkte haben, und da hier 

 jeder Curvenast zweien in der allgemeinen Form entspricht, so muss auch jedem vielfachen 

 Punkte dieser Curven vier in den andern Curven vor den Übereinanderfallen je zweier Äste 

 entsprechen. Es können aber wegen 11) diese Punkte nur in den Durchschnittspunkten der 

 dort angegebenen Geraden liegen, deren es (A—l) (-B— 1) gibt, und daher wegen 7) in jeder 

 Curve nur ( ~ > ( ~ > vorhanden sein, indem durch das Umlegen der Curve um die Axe, 

 die keine Axe der Symmetrie ist, keiner von den vielfachen Punkten auf einen in der ersten 

 Lage fallen kann. 



