Bemerkungen über ausgezeichnete Linien krummer Flächen. 439 



ist; in diesem Falle hat man: 



As = ^(r cos^ ci-\-2s sin a cos oc -\-t sin^ a) -|- . . . 



was, falls r nicht Null ist, sieh so schreiben lässt : 



p^ (r cos a-i-s sin a)^ + (rt — s^) sin^ a 

 As = ^ + . . . 



ferner 



^ = ^[ 2scos 2a + (^ — r) sm 2a)]-f .. 



--„- = p3 [ — 2s sin 2c< -\- (^t — r) cos 2a)] -\- . . 

 für die durch M gehende Linie ohne Fall ist: 



r cos^ oc -\-2s sin « cos cc -\-t sin^ a = o 

 woraus 



— s-iz. V s^ — rt 

 tga= 



folgt, und dies wird, sobald der in Rede stehende Punkt ein höchster 

 oder tiefster ist, imaginär; weil in diesem Falle, wie aus der zwei- 

 ten Gleichung für As zu sehen, s^ — rt <o sein muss. Man kann 

 daraus folgern, dass durch einen höchsten oder tiefsten Punkt keine 

 Linie ohne Fall oder ohne Steigung geht. — Ist für den Punkt 3f, 

 wofür schon p=o , g = o ist, auch noch 



so werden, wie wieder aus 



. p2 (r cos a. + s sin a)^ j^ 



As = "t;- • — r- 



zu sehen, sämmtliche durch M gezogene Linien entweder abfallen, 

 oder aufsteigen , je nachdem r negativ oder positiv ist , bis auf eine, 

 deren Richtung durch die Gleichung 



r cos a -\- s sin ci= o 



bestimmt ist, und deren erstes Element wenigstens, ohne Fall und 

 ohne Steigung durch M geht, ist endlichst — rt>o, so ist M 

 ein Sattelpunkt der Fläche, und alsdann gehen, wie sich klar 

 einsehen lässt, zwei Linien ohne Steigung und ohne Fall durch den- 

 selben. 



