444 Spitzer. 



Ich nenne nämlich höchste oder tiefste Linien auf krummen Flä- 

 chen solche Linien, deren sämmtliche Punkte dieselbe Höhe haben, 

 deren nächste, aber ausser ihnen liegende Punkte entweder alle tiefer 

 oder alle höher liegen. 



Um zu untersuchen , in welchen Fällen die Linien , deren Glei- 

 chungen 



(3) S ^ = ^ (-^'^^ 

 ^ ^ ] ^ (x , y) = 



sind, und die man sich in der Form 



z = h 



aufgestellt denken kann, eine höchste oder tiefste Linie der Fläche 

 s= f ix,y) ist, gehe man von ihr zu anderen auf derselben Fläche 

 in unmittelbarer Nähe liegenden über, etwa dadurch , dass man y um 

 dy wachsen lässt, unter oy eine beliebige Function von a: verstanden, 

 die stets sehr kleinen numerischen Werth hat. 



Man erhält sonach als Gleichungen von in der Nähe der Linie 

 (3) auf der Fläche s = y (a:, i/) liegenden Linien folgende: 



z = (p (x ,y) 



(^) \y^ f(x} + oy. 



Die Substitution y=f (^x} -\-oy in z-=f (^x , y) und darauffol- 

 gende Entwickelung nach Taylor's Reihe gibt: 



oder da ^ — wegen des innehabenden Factors ^ {pc,y^ gleich Null 



wird 



, , dy" 8^« , 



^ = '^ + i^-8^ + -" 



8*» 

 Behält ^— 3 für alle Punkte der Curve ^{^x ,y) = o einerlei Zei- 

 chen, so ist offenbar die Linie (3) eine höchste oder tiefste, sollte 

 ■—; stets Null werden, so müsste man das nächste Glied der Reihe zu 



Rathe ziehen, ist dieses positiv oder negativ, so hat man weder 

 eine höchste, noch eine tiefste Linie; ist es aber auch Null, so ent- 

 scheidet das Zeichen des vierten Differential-Quotienten u. s. f. 



