Bemerkungen über ausgezeichnete Linien krummer Flächen. 445 



Um daher die höchsten und tiefsten Linien einer Fläche 



zu finden, bilde man sich die Ausdrücke: 



(I9 (^^^ , y) 8y (x ,y) 



dx ' 8j/ 

 und sehe, oh sie einen gemeinschaftlichen variablen Factor besitzen. 

 Sei einer vorhanden, und heisse dieser 



so untersuchet man, ob —^^4^ für alle Werthe, die der Glei- 

 chung -^(-c,?/) = o genügen, positiv oder negativ sei, im ersten 

 Falle ist die Curve, deren Gleichungen 

 I = ^ (o; , ^) 



sind, eine tiefste, im zweiten eine höchste; ist aber — r-^~ (für 



^(x,y) = o} gleich Null, so bleibe man bei dem ersten, für 



^ {x ,y) = o nicht verschwindenden Glied der Reihe 



<^' y (^ > y) ^^ ? {X , y) 8^ y (x , y) 

 hß ' 8»/* ' Zy' 



stehen, ist nun — }' '^ dieses erste, so hat man eine höchste oder 

 tiefste Linie, wenn n gerade ist, und weder eine höchste, noch eine 

 tiefste, wenn n ungerade ist. 



(Es könnte auch sein, das die vorgelegte Fläche höchste und 

 tiefste Linien besitzt, deren eine Gleichung ^ {x ^y) ^= oo ist, diese 

 Linie hätte dann offenbar die Gestalt einer Kante oder Schneide.) 



Es ist äusserst merkwürdig, dass die Gleichungen solcher 

 höchsten und tiefsten Linien den Differential-Gleichungen dei" kürze- 

 sten Linien auf der Fläche genügen, trotzdem die Krümmungshalb- 

 messer dieser Linien in der Tangirungs-Ebene der Fläche selbst 

 liegen, und nicht Normalen der Flächen sind. 



Man kann sich leicht von der Richtigkeit des eben ausgespro- 

 chenen Satzes überzeugen, denn bekanntlich sind die Gleichungen 

 der kürzesten Linie auf der Fläche, deren Gleichung F(x,y,z) = o 

 ist: 



F(x,y,z} = o 

 dF er %' -1 ^ 3 r y' nr 



