Die Ableitung^ dei- kiystallometrischen Grundgleichungen. 517 



wodurch ein Tetraeder (dieses Wort ebenfalls im weiteren Sinne 

 genommen) entsteht. 



Seien a'b'c' , a' b" c" ; a"b' c" , a"b"c' die zu erweiternden 

 Oktaederflächen und begrenzen diese das Tetraeder a beb, so dass 

 dessen Kanten 



bc, ca, ab; ba, bb, bc = «,', />/, c/; (to', bz, c^ 

 durch 



/.' (.' ,.' . /." W /Ji 



a, 0, c ; a , D , c 



gehen. 



Werden noch die den Scheiteln 



a, b, c, b 



gegenüber liegenden Tetraederflächen mit 



A, B', a, D' 



bezeiclmet, so ergeben sich sogleich die Beziehungen: 



a\, b'u c\; a'a, b'^, Cn -= 2«,, 26i, 2ci ; 2ao, Ib^, 2co, (1) 



^'„ /?!, C\, D\ = 4J, 4ß, 4C, 42). (2) 



Denkt man sich ferner z. B. durch die Axen b' b", c' c" die Dia- 

 gonalfläche b'c'b"c"=Pa gelegt, so ist wegen der Parallelität der 

 Kanten bc, b'c',b"c" in dem zugehörigen dreiseitigen prismatischen 

 Baume die Summe der drei Keile, welche die Flächen a'b'c', a'b"c", 

 b'c' b"c" mit einander bilden, = ISO«*. Da aber, weil die Gegen- 

 flächen des Oktaeders parallel sind, der Keil a'b"c", Pa = dem Keile 

 a"b'c', Pa ist, so erhalten wir 



a'b'c', P, + a'b"c", P, = a'b'c, P« + a"b'c', P, = 

 dem Oktaederkeile b'c' = «i, 



und eben so für alle übrigen. Dies gibt die dritte und zwar die Haupt- 

 beziehung zwischen dem Tetraeder und Oktaeder, nämlich 



a', + a, -- //i + bi ■= c'i -}- <•, = 



= a'. 4- «2 = Ä'a 4- 62 = r'o -f c. = 180°, (3) 



wornach je ein Tetraeder- und Oktaederkeil, deren Kanton parallel 

 sind, einander zu 180" ergänzen. 



