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Hierbei ist nicht zu übersehen , tlass , wenn wir das Oktaeder 

 auf eine seiner Flächen, z. B. auf/), stellen, den zugehörigen 

 Grund keilen cit, bi, Ci im Tetraeder die der Ecke b zugehörigen 

 Keile a'i, b\, c\; den Zwischenkeilen a^, bo, Cn, des Oktaeders 

 aber die der Tetraeder fl ä che D' anliegenden Keile a'^, b'z, c'a 

 entsprechen. 



Sonach reducirt sich die Untersuchung unseres Oktaeders auf 

 die seiner Heniiedrie, so dass wir jetzt aus den Keilen des Te- 

 traeders das Verhältniss und die gegenseitige Lage 

 von dessen drei K a n t e n a x e n zu bestimmen haben. 



Zunächst ergibt sich hieraus, dass die sechs Oktaederkeile von 

 einander abhängig sind, weil die nämliche Eigenschaft auch jedem 

 Tetraeder zukommt. Wir erhalten demnach, wenn die bekannte Car- 

 not'scho Tetraederformel auf das Oktaeder übertragen wird, die 

 quadratische Bedingungsgleichung für die sechs Oktaederkeile: 



ros rt'f -f- cos b] -\- cos c^ -j- cos (ä -\- cos bl -\- cos cl 

 -j- 2 cos ff, cos a, cos />, cos b^ -j- 2 cos «, cos (u cos c, cos Co 



-|- 2 cos bi cos bn cos Ci cos c» 



V -^ = 1 + 2c«s ffo ^'ff^ f>i CO''^ Cl 4" ^cos üi cos 63 cos c, 



-|- 2cos r/j cos bi cos c.> -f- 2cos r/o cos b., cos Cg 

 -J- cos a\ cos (ä -f- cos b] cos bl -\- cos c\ cos c\, 

 worin 



«2 bx Cl, (i\ bo Cl, «1 bi Co, (li bo, Ci Zwischenkeile, 

 üi (lo bi b, , Hl ((2 Cl Co , bi bo Ci Ca Eckenkeile , 

 und «1 fto , bi bo, Cl Ca Gegenkeile in den Ecken 



des Oktaeders sind. — Diese Gleichung kann zur Prüfung der Schärfe 

 der Messungen angewendet Mcrden. 



Aus der Goniometrie ist bekannt, dass für drei ganz beliebige 

 Winkel ^, /, -^ sets 



1 — cos (p~ — cos y'^ — cos 'p- -\- 2cos f cos x f'os -«p 

 -^ + 4 sin hif+X-^'i') '"^'f' K— ? + Z + 'f) «''^ K? — X + '-P) 



si?i l (<p-{-X — 'P)' 

 und 



1 — cos f- — cos x~ — cos 1^- — 2cos ^ cos X cos ^ 

 = — 4 cos \ (5? -1- X + 'D cos .!(—? + X + •^) ''^'« l (? —X + "P) 

 cos \ (<p + X — 'P) 



