über die Theorie der linearen algebraischen Gleichungen. 941 



gebrauchen wir den schon bekanjiten Satz, die Eliminationsgleichiinf? 

 in s lasse für dieses blos reelle Werthe als Wurzeln zu. Da aber 

 der Beweis dieses Satzes, wenn schon an und für sich interessant, 

 eine erhöhte Wichtigkeit für uns besitzt und wir ihn überdies 

 auf etwas einfachere Weise als bisher geschehen, zu führen im 

 Stande sind, so wollen wir ihn reproduciren. Zu diesem Zwecke 

 ersetzen wir in den Gleichungen (1) alle darin enthaltenen Grössen?« 

 durch die der ä:'*" Wurzel zugehörenden und bekommen so : 



(11) Ml" + (12) ?/," + (13) U,' + ... (1 70 //„" = S, M," 



(21) M," + (22) nJ + (23) n^' -^ ... {2 h) «,." = s, n/ 

 (31) n,' + (32) u./ + (33) u,' + ... (3/0 iC = s, u,' (6) 



(wl) «i" + (w2) w/^ (^3)^3" + . . . (nn) w,." = s, u,^ 



darauf multipliciren wir diese Gleichungen der Reihe nach mit: 



Ui", ih\ ih" . . . «,/' 



addiren sie und vereinigen alle Bestandtheile einer Vertical-Columne 

 zu einem Gliede. Das Resultat ist folgendes: 



«," [(11) n," + (12) n,' + ...(in) «„*] + 

 +Mo" [(21) wi* + (22) u," + . . . (2w) M„*] + . . . (7) 

 = S* [Ui" Ui" -^ih^ii." + . . . iC w,*] 



Jetzt verwandeln wir in den Gleichungen (6) den Stellenzeiger k 

 in h, was offenbar erlaubt ist. Dabei zeigt sich denn, dass die auf 

 der linken Seite der Gleichung (7) als Factoren erscheinenden 

 Polinome identisch sind mit den links vom Gleichheitszeichen 

 stehenden Theilen der in erwähnter Weise modificirten Gleichungen 

 (6) also auch der Ordnung nach ersetzt werden können durch: 



Führen wir nun diese Vertauschung aus, so geht uns die (7) 

 über in die gesuchte Endgleichung: 



Sa (Ui" «1* + W./ U." + . . . iC W„*) 



= s, (w," Ui" 4- u^' u^'^-\- . . . iC w„*) (8) 



aus welcher sich der in Frage stehende Satz, mit Rücksicht auf den 

 Umstand, die Eliminationsgleichung (2) könne aus lauter reellen 



