942 Li ch t enf e I s. 



Grössen durch Addition und Multiplication entstanden, nur reelle 

 Coefiicienten besitzen und demnach höchstens conjungirte imaginäre 

 Wurzeln zulassen, in folgender Weise ergibt: Die Voraussetzung 

 eines Paares conjungirter imaginärer Wurzeln wie 



s,, = p -}- q V — i ; Sh = p — qV — i 



bringt es mit sich, dass auch die ihnen zugeordneten u^ und u^ als 

 rationale Functionen dieser Wurzeln undderCoeffieientendessgleichen 

 eine Form bekommen wie: 



7/* = «,. + ß,. y-iTT ; iC = oc,—ß, t^"=T 



unter a und ß reelle Grössen verstanden. Die Einführung dieser 

 Annahmen in die Gleichung (8) liefert aber die neue : 



2q («,2 -\- ccj+ . . a,r^ H- ß,^ -j- ß,2 -f . . |3„2) V-1=0 (9) 



zu deren Bestände erfordert wird, dass entweder das in ihr als Factor 

 erscheinende Polynom der a und ß oder die Grösse q der Nulle gleich 

 sei, Ersteres ist aber, da der Voraussetzung nach, alle « und ß reell 

 sind und nicht zugleich verschwinden können, ohne dass dies auch in 

 Widerspruch mit der Gleichung (5) bei sämmtlichen ?i'' und u^ ein- 

 träte, unmöglich; man wird also haben müssen 



^ = (10) 



eine Relation, welche offenbar die Realität sämmtlicher Wurzeln der 

 Eliminationsgleichung (2) beweist. 



Dies ist jedoch nicht die einzige aus der Gleichung (8) zu zie- 

 hende Folgerung — eine andere von nicht minderer Wichtigkeit für 

 uns ist nämlich die, dass auch für reelle aber ungleiche Werthe von 

 .V,, und .s'i, die erwähnte Gleichung nur unter der Voraussetzung 

 bestehen könne, das in derselben als Factor erscheinende Polynom 

 der «'' und «'' sei der Nulle gleich. Es müssen also die aus (6) zu 

 ziehenden Werthe der u für zwei verschiedenen Wurzeln angehörende 

 sonst aber beliebige Stellenzeiger h und k die Gleichung : 



n," //,* + Uo" no" + U3" Us" + . . . u,," M,." =0 (11) 



erfüllen. Gibt es aber unter den Wurzeln der Eliminationsgleichung 

 doppelte oder mehrfache und sind s,, und .s,< ein solches Paar gleicher 

 Wurzeln, so wird die (8) eine identische und es ist nicht mehr erlaubt 



