über die Theorie der linearen alg-ebraischen Gleichuiig-en. 949 



als allgemeines Bildutigsgesetz sämmtlichen Coefticienteii. Es bleibt 

 noch dieSymnieli-ie der neu entstandenen Coeffieienten oder was das 

 selbe die Gleichung : 



(kh), ,=(/,/: U (28) 



zu bew eisen übrig. Aus (27) lässt sich aber zeigen, dass die Coeffi- 

 cienten der (r+ l)""" Ordnung symmetrisch sind, sobald dies nur bei 

 denen der r"^" und (r — l)'*"" der Fall ist. Schreibt man nämlich die 

 Gleichung (27) so: 



und bemerkt, dass nach demselben Bildungsgesetze 



und wegen der vorausgesetzten Symmetrie der Coefficienten r*" Ord- 

 nung auch 



(«Ä).. = S';| (ß-^)-. w)]ß (30) 



sei, so gelangt man leicht durch Substitution der Gleichung (30) 

 in die (29) zu 



ifch) = S;'S;'| (i3a),._. (ka) (Aj3)}^^ (31) 



einem Ausdrucke, welcher der gleichfalls vorausgesetzten Symmetrie 

 von (/3a)r_, zu Folge auch die von (^kli)^i beweist, da in (31) 

 sowohl die Summation nach dem Stellenzeiger a als die nach ß sich 

 auf alle ganzen Zahlen von 1 bis w zu erstrecken hat. 



Die Coefficienten erster Ordnung (A'Ä)i gleichbedeutend mit(^/t) 

 sind aber symmetrisch, ebenso die zweiter Ordnung, wie aus ihrem 

 Bildungsgesetze : 



(kh). == (lÄ) (ki)-}-(2Ii) (^•2+(3//) (Ä-3) + . . . (nh) (kt/') 



das man aus (27) erhäH, darin r^^ l setzend, ersichtlich ist; es sind 

 also nach dem so eben bewiesenen Satze auch die der dritten Ordnung 

 symmetrisch, ferner die der vierten, weil es die der zweiten und dritten 

 sind u. s. w. Man schliesst daraus, dass alle Systeme höherer 

 Ordnungen die Eigenschaft der Symmetrie — wie wohl zu vermuthen 

 war — besitzen. Dies berechtiget uns, jene aus Gleichung (21) 

 gezogene Folgerung anzuwenden auf alle Systeme wie (26) von 

 beliebiger Ordnungszahl r, wodurch wir, in der Eliminationsgleichung 

 eines jeden derselben die zugeiiörige s'' als Unbekannte ansehend, 



Sitzb. d. mathem.-naturw. CI. XU. Bd. V. Hft. 62 



