über die Theorie der linearen algebraischen (iieichungeii. 951) 



zeigt, mit dem oben Gesagten verbunden, dass keine unter den Wur- 

 zeln der EliminationsgUncbung grösser sein kann als : 



np 



P~ 



Da aber dieser Grenzuertb für beliebig grosse r Statt bat, 



weder ji noch /> und jP das r enthaltoii, mit diesem also auch nicht 

 wachsen können, ferner P seiner Definition nach kleiner als ii p oder 



diesem höchstens gleich ist und demgemäss A/ "^ sich seinem klein- 

 sten Werthe der Einheit um so mehr nähert, je grösser r angenom- 

 men wird, so ist klar, dass keine Wurzel numerisch den Werth von 



P (43) 



zu übersteigen vermag; und dies ist die engste Grenze, welche wir 

 für die Wurzeln s, ohne den Coefficienten specielle Werthe beizulegen, 

 finden konnten. Versucht man auf ähnlichem Wege extreme Werthe 

 für A^ und M /AI finden, so gelingt dies im Aligemeinen nur für erstere 

 Grösse — für letztere nämlich nur unter der Voraussetzung, sämmt- 

 liche Coeflicienfen seien positiv — und man überzeugt sich ferner 

 leicht, dass die derart ermittelten stets noch innerhalb jener liegen, 

 welche der alleinige Gebrauch des Systems zweiter Ordnung zu ihrer 

 Bestimmung ergeben würde. Die tauglichsten derselben Averden dem- 

 nach hervorgehen aus den Gleichungen : 



jY. = (M). + (k2y + (ksy -I- . . . (kuy 



M^ = (A-1)' + (k2y- + (k^y + . . . (kny ^^^^ 



in der ersteren den Stellenzeiger k so gewählt, dass ihr rechter Theil 

 möglichst klein, in der letzteren aber so, dass er möglichst gross 

 werde. Unter den Wurzeln der Eliminationsgleiehung in s wird sich 

 also mindestens eine befinden müssen, die, abgesehen vom Zeichen 

 zwischen der Nulle und der Quadratwurzel, aus dem kleinsten der 

 Diagonal-Coefficienten zweiter Ordnung liegt, ferner gleichfalls min- 

 destens eine liegend zwischen der Quadratwurzel aus dem grössten 

 der Diagonal-Coefficienten zweiter Ordnung und dem grössten unter 

 den Summen der numerischen Werthe aller je einer Horizontal- oder 

 Verticalreilie angehörenden Coefficienten, es wird deren aber endlich 

 keine geben, welche den Werth der letztgenannten Grösse übersteigt. 

 Gehen wir jetzt über zur zweiten der oben unterschiedenen 

 Arten von Gleichungen, nämlich zu Gleichungen von der Form: 



(kk),,. . = sr' in\y-\- «r' iu\y-\- «r* iu\y + . . . .r' (niy 



