über die Theorie der linearen algebraisclien Gieieiiungen. 9o7 



dessen Gleichungen, deren eine etwa die Ä:'" nach Multiplication 

 mit ( — !)'?(*) folgendermassen geschrieben werden kann : 



+ [(U-) .r', (_1)2'r(l)+2'f(«r) _[_ (2k) x', (—iyfC-) + M'') -f 



l?lk) X„ (— l)2rr") + 2?(Ar)] = sx\ (— 1)2?(*) (49) 



da der Voraussetzung nach f {k) stets eine ganze Zahl ist, Coef- 

 ficienten von durchgehends positiven oder negativen Zeichen besitzen, 

 je nachdem in (46) das obere oder das untere der vor der Potenz 

 von — 1 stehenden Zeichen zu gelten hat. Es kann hier gelegent- 

 lich bemerkt werden , dass einem synunotrischen Systeme von Glei- 

 chungen wie (1) selbst dann noch lauter reelle Wurzeln s entspre- 

 chen, wenn einige seiner Coefficienten nach bestimmten Gesetzen 

 rein imaginär werden. In der That behält man die durch die Formel 

 (47) angezeigte Ausdrucksweise für die Coefticienten und die Sub- 

 stitutionen (48) für die Unbekannten bei, mit dem einzigen Unter- 

 schiede, 'f {h) solle nicht mehr für alle Stellenzeiger k eine ganze 

 Zahl werden, sondern ein Bruch mit dem Nenner 2 und einer belie- 

 bigen ganzen Zahl als Zähler, so tragen einerseits gewisse unter den 

 durch die Formel (47) bestimmten Coefficienten des gegebenen 

 Systemes Y — 1 als Factor bei sich, während andererseits sämmtliche 

 Gleichungen des transformirten Systemes wieder eine Form bekonmien, 

 gleich der (49) und daher zu Folge der angenommenen BeschatTen- 

 heit der Function 'f lediglich reelle und zwar symmetrische Coefficien- 

 ten besitzen, also auch in der ihnen entsprechenden Eliminations- 

 gleichung lediglich reelle Wurzeln zulassen. 



Aus der Gleichung (49) geht aber ferner deutlich hervor, dass 

 einem Systeme von Gleichungen, in welchem der Zeichenwechsel 

 der Coefficienten durch irgend einen Ausdruck Avie (46) bestimmt ist, 

 dieselben Wurzeln .9 angehören, die ein mit den Coefficienten + 

 (hk), darunter den gemeinschaftlichen numerischen Werth der Coef- 

 ficienten beider Systeme verstanden, behaftetes besitzt; dass also 

 namentlich die dem ersteren Systeme entsprechenden Wurzeln von 

 durchgehends gleichen Zeichen sein müssen , wenn es die des zwei- 

 ten sind und umgekehrt. 



Dieser Umstand Hess uns vermuthen, es möchten sich, ohne Rück- 

 sicht auf die Zeichen der Coefficienten lediglich die numerischen 

 Werthe derselben betreffende Bedingungen angeben lassen, deren 

 Erfüllung hinreicht, das Vorkommen durchgehends positiver oder 



