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negativer Wurzeln in der Eliminationsgleichung zu bedingen. Es 

 finden sich solche nun wirklich und zwar in einem gewissen Über- 

 wiegen von Seite der Diagonal-Coefficienten: 



Setzen wir, um dies in Bezug auf positive Wurzeln nachzuwei- 

 sen, in dem Gleichungssysteme (1) r-\-<y statt s unter r eine posi- 

 tive übrigens willkürliche Grösse verstanden, die wir nach ausge- 

 führter Substitution auf die linke Seite der Gleichungen in die Dia- 

 gonal-Coefficienten schalfen und sehen dann a als die neue Unbe- 

 kannte der Eliminationsgleichuug an, so ist klar, dass es unter den 

 Wurzeln s keine negative geben könne, wenn abgesehen vom Zeichen 

 keine der Wurzeln a das r übersteigt. Dies wird, mit Rücksicht auf 

 die durch (43) gegebene oberste Grenze für die numerischen Werthe 

 der Wurzeln, dann stattfinden, wenn keine unter den Summen der 

 numerischen Werthe aller je einer Horizontal- oder Verticalreibe 

 angehörenden Coefficienten des transformirten Systemes grösser ist 

 als r. Bezeichnen wir also für irgend eine der Gleichungen, etwa die 

 /t'", eine solche Summe aller ihrer Coefficienten, jedoch mit Ausschluss 

 der diagonalen mit [/<A], derart, dass dieses Symbol die Grösse r 

 nicht enthält, so werden dje gesuchten Bedingungen offenbar folgende 

 sein : 



(99) - r + [gg] < = r (SO) 



und 



r— (kk) + [M] < = r (51) 



erstere hervorgehend aus jenen Gleichungen, deren Diagonal-Coeffi- 

 cienten vor der angezeigten Substitution gleich oder grösser, letztere 

 aber aus jenen , in welcher eben diese Grössen gleich oder kleiner 

 waren als r. Da sich aber die einen so schreiben lassen 



(99)- > [99]+^ (99) -^r (52) 



während die anderen auf die Relationen 



ikk)^>[kk] (53) 



führen, so ist klar, dass, weil diese das r nicht mehr enthalten, jene 

 aber nur für (gg) = > r bestehen, zu ihrer Erfüllung um so kleinere 

 ^^'erlhe der Diagonal-Coefficienten hinreichen, je grösser r ange- 

 nommen wird. Lassen wir daher dieses an Grösse sänuntliche Dia- 

 gonal-Coefficienten übersteigen, so reduciren sich uns die zu erfül- 

 lenden Bedingungen auf die einzige für alle Stellenzeiger k gültige: 



(kk)=>[kk} (54) 



