über die Tlieorie tk'v linearen algebiaisclien Gleiclnmgeii. 959 



Es erhellt daraus, die Eliminationsgleiehiing in s müsse Wurzeln 

 von durchgehend positiven Zeichen stels dann bieten, wenn jeder 

 unter den Diagonal-Coelficienten gleich oder grösser ist, als die 

 Summe der numerischen Werthe aller mit ihm in einer Reihe 

 stehenden. 



Auf ähnlichem Wege gelangt man nach Vertauschung von .s mit 

 — s im Gleichungssysteme (1) zu den Relationen 



— (kk)=>[kk] (55) 



als Bedingungen für das Vorkommen lediglich negativer Wurzeln — 

 Avir übergehen aber der Kürze wegen ihre Ableitung und fügen nur 

 bei, dass sie übereinstimmend mit dem oben Gesagten augenschein- 

 lich für sämmtliche Diagonal-Coefficienten das negative Vorzeichen 

 erheischen, gleich wie die (54) für eben diese Grösse das positive. 



Wenn nun auch ein so bedeutendes ('berwiegen an numerischem 

 Werth von Seite der Diagonal-Coefticienten, das hier als hinreichend 

 nachgewiesen wurde, um in der Eliminalionsgleichung lauter Wurzeln 

 von einerlei Zeichen erscheinen zu lassen, eben nicht überall dazu 

 nothwendig ist, so kaim doch andererseits wieder leicht gezeigt 

 werden, dass die genannten Grössen nicht unter bestimmte Grenzen 

 sinken dürfen, ohne gewiss Veranlassung zu geben zur Entstehung 

 von Wurzeln mit verschiedenen Zeichen. Führt man nämlich in (1) 

 statt irgend eines Paares der Lnbekannten .r deren Sunune und Diffe- 

 renz als neue Unbekannte ein, setzt also etwa : 



^h= (V ), -\- X 1^ ; ii\ ^^ iV I, cc ]( 

 und ordnet dann die Gleichungen derart, dass sie mit der ursprüng- 

 lichen der Form nach übereinstimmen, so finden sich unter ihren 

 Diagonal-Coefficienten namentlich folgende zwei : 



(M) + (M) (kh)-Y{hk) 



1 h V^k) ; ^ {hk) 



die stets von ungleichen Zeichen sind, sobald der numerische Werth 

 von (/tA-) den von ^' ^^ — ='- übertrifft, — womit das Gesagte bewie- 

 sen ist. Die Eliminationsgleichung bietet also gewiss Wurzeln vdii 

 verschiedenen Zeichen, wenn einer der Coefficienten numerisch 

 grösser ist, als die halbe Summe jener Diagonal-Coefficienten, mit 

 denen er in einer Reihe vorkömmt. 



Es ist ferner noch möglich, verschiedene Paare von Grenzen, 

 innerhalb welcher einzelne unter den Wurzeln s und zwar mit Rück- 



