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sieht auf ihr Zeichen liegen müssen, anzugeben: Nennen wir 7'-\-cx. 

 undr — «ein solches, unter r und cc einstweilen unbestimmte Grössen 

 verstanden, so werden wir, um die Existenz einer Wurzel, kleiner als 

 r-f-a, aber grösser als r — oc, sieher zu stellen, nur nöthig haben zu 

 beweisen, die Eliminatioiisgleichuiig in s besitze deren mindestens 

 eine, welche den Ausdruck: 



oder was dasselbe ist, den 



(7 = s- — 2rs-{-r" — a (^ß) 



zu einem negativen macht. Dies geschieht aber folgendermassen: 



Wir subtrahiren von den einzelnen Gleichungen des Systemes 

 (20) darin den Stellenzeiger r^2 gesetzt, also von denen der zwei- 

 ten Ordnung die correspondirenden der ersten, nachdem wir diese 

 vorher mit 2r multiplicirt haben, worauf wir zur ersten der so neu 

 entstellenden beiderseits w^ (r- — «-), zur z\\eiten ii., {r~ — a^) kurz 

 allgemein zur A:"" u,^ (7-2 — oc~) addiren. Das in beschriebener Weise 

 erzeugte combinirte System besitzt nun aber, wie leicht zu ersehen, 

 Diagonal-Coeflicienten von der Form 



(M)o— 2r (M) -I- r2— «2 (S7) 



während der gemeinschaftliche Factor der Unbekannten u in den 

 rechts vom Zeichen stehenden Theilen seiner Gleichungen , also die 

 neue Unbekannte der Eliminationsgleiehung ofTenbar eben die durch 

 den Ausdruck (S6) definirte Grösse a ist. Lassen wir daher a bestimmt 

 sein durch folgende Gleichung: 



was immer zulässig ist, da dem Bildnngsgesetze höherer Coefficienten 

 gemäss {kk)., sich stets grösser als (A7«:)- findet, also auch der in (58) 

 unter dem Wurzelzeichen stehende Ausdruck das positive Zeichen 

 für ein beliebiges r und k an sich trägt, so verschwindet im trans- 

 formirten Systeme einer der Diagonal-Coefficienten, nämlich der (o7) ; 

 die Elimiiiationsgleichnng in 7 liefert dann wie wir wissen mindestens 

 eine negative und eben darum die in s auch mindestens eine, nach 

 rmständen positive oder negative Wurzel, aber eingeschlossen zwi- 

 schen den Grenzen 



/• — 1 r-—2r {kk) + (H-)a (ö9) 



