über die Theorie der linearen alg:ebraisclien Gleichungen. 961 



und 



r + V r'— 2r {kk) + ikk% (59 ) 



Um jetzt diese möglichst enge zu machen, wählen wir 

 r = (kk) 

 wodurch sie uns übergehen in nachstehende 



{kk)—Vikk), — ikky- ; (kk)-\-V (kk), — {kky (60) 

 und sodann mit Rücksicht auf die Zusammensetzung der Coefficienten 

 (kk).. zu dem Selihissc führen, die Eiiminationsgleichung in s besitze 

 mindestens eine Wurzel liegend zwischen der Summe und der Diffe- 

 renz aus je einem der Diagonal-Coefficienten und der Quadratwurzel 

 aus der Summe der Quadrate aller jener Coeflicienten, Mclche mit 

 ihm in einer Horizontal- oder Verticalreihe vorkommen. 



Solche Grenzenpaare wie (60), die wir kürzer so schreiben: 



(M) + [M]3 (61) 



erhalten wir nun so viele als es Stellenzeiger k, oder was dasselbe ist, 

 so viele als es der Gleichungen im Systeme (1) gibt, doch werden sie 

 nur Hindeutungen auf so viele von einander verschiedene Wurzeln 

 darbieten, als unter ihnen sich gegenseitig vollkommen ausschlies- 

 sende befinden, was, wie ersichtlich, allein von den numerischen 

 Werthen sämmtlicher Coefficienten abhängt. Erwähnenswertli ist hier 

 der Fall, wo die Diagonal-Coefficienten sich in eine Reihenfolge brin- 

 gen lassen, derart, dass stets die einem derselben coordinirte untere 

 Grenze grösser ist als die dem in der Reihe nächstfolgenden zuge- 

 ordnete obere — man besitzt dann in der That Hinweisungen auf 

 71 differente Wurzeln der Eliminationsgleiehung. 



Von weit grösserem Relange als vermöge der Erleichterung des 

 Aufsuchens der Wurzeln, welche sie nach Obigen gewähren, werden 

 aber diese Grenzenpaare dadurch , dass sie in vielen Fällen einen 

 Schluss auf die Anzahl der in der Eliminationsgleichung vorkom- 

 menden positiven und negativen Wurzeln gestatten. 



Denken wir uns nämlich die Eliminationsgleichung allgemein 

 aufgelöst, das heisst ihre Wurzeln in die Formen: 



fi> "Pi, fs, ■ ■ ' ■ fn 



gebracht, unter den (p Functionen der Coefficienten (ÄA-) verstanden, 

 so ist zuvörderst klar, dass, weil jedes der Grenzenpaare (61) auf 

 eine positive oder negative Wurzel hinweist, je nachdem der betref- 



