über die Theorie «ler lineare» alfjeljraisclieii Gleicliuiigeii. 96o 



abzuleiten, es werden sich daher die zur Berechnung sämmtlicher 

 Coefficienten nöthigen Multiplicationen auf: 



rt''(«+l) (w— 1) 

 2 



belaufen. Fügen wir hinzu die Multiplicationen und Divisionen, welche 



n (h + 1^ 

 die Gleichungen (39) zur Auflösung erfordern - — - — 1, wie 



leicht zu ersehen, so stellt sich die gesuchte Gesanimtzahl bezüglich 

 unserer Methode auf 



,,. ^ii!Ltl) (,,_i) + ül!^ _ 1 (66) 



Dass nun diese mindestens von gewissen und zwar sehr niedrigen 

 Werthen von w angefangen, kleiner sei als die entsprechende für das 

 combinatorische Verfahren, ersieht man daraus, dass bei dem letzte- 

 ren, wie aus dem Bildungsgesetze der Determinante hervorgeht, 

 allein die Berechnung des letzten Gliedes der Eliminationsgleichung 

 eine Anzahl von 



(w— 1). «(w— 1) 0^—2) .... 2-1 



Multiplicationen erfordert. In der That schon für w=5, wo diese 

 Zahl 480 wird, übertrift't sie bedeutend die oben gefundene Gesammt- 

 zahl, welche sich in diesem Falle auf 314 beläuft. Ein noch günsti- 

 geres Verhältniss stellt sich und zwar bei noch minderen Werthen von 

 n heraus, w enn man auch von dem condjinatorischen Verfahren wie 

 billig die Gesanimtzahl der nöthigen Operationen in den Vergleich 

 zieht. Aber noch mehr — es lassen sich viele von den in (06) ange- 

 gebenen Multiplicationen ganz zweckmässig in Additionen umwandeln. 

 Betrachtet man nämlich das Bildungsgesetz höherer Coefficienten (36), 

 so wird man sehen, dass in allen den Producten, die zu ihrer Ermitt- 

 lung gerechnet werden müssen, eine Reihe von Factoren, bestehend 

 aus Coeflicienten des Systems erster Ordnung, stets wiederkehrt und 

 nur die andere, Coefficienten des unmittelbar vorher berechneten 

 Systemes in sich begreifend, von Ordnung zu Ordnung wechselt. 



Hat man daher jeden der Coefficienten des gegebenen Systems 

 der Reihe nach multiplicirt mit den Zahlen 1, 2, 3 . . . 9, so werden 

 sich aus den so entstaiulenen Elementen, da ofTenbar jeder unter den 

 Coefficienten höherer Ordnung wieder nur durch einen Complex der 

 Ziffern bis 9 vorgestellt wird, alle erwähnten Producte und somit 



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