über die Theorie der liuearen algebi'aischen Gleichungen. 981 



in Bezug auf das zweite aber 



rv C" C" C" 



»5 Ij '^ 25 'J 35 • • • • '^ « 



so wird man zuvörderst haben: 



''' = '"■■ - (I) ^ (I) + (I) i ■ • • • (t!) ('») 



Dass auch für die Summen höherer Potenzen der Wurzeln ähn- 

 liche Gleichungen gelten wie (10), hat darin seinen Grund, dass sich 

 die in den Systemen (1) und (2) herrschende Reciprocität unter 

 den Coefticienten auch in alle Systeme von höherer Ordnungszahl als 

 der ersten fortpflanzt. Da aber dies nicht unmittelbar wahrgenommen 

 M'erden kann, so müssen wie diese letzteren, zumal sie auch sonst 

 noch nötliig werden, entwickeln. 



Es geschieht dies genau so wie bei den symmetrischen Gleichun- 

 gen im ersten Abschnitte. Man gewinnt nämlich, falls man von einem 

 der Systeme (1) oder (2) zu dem entsprechenden zweiter Ordnung 

 vorschreiten will, irgend eine Gleichung, etwa die k^" dieses letzteren, 

 wenn man die Gleichungen des ursprünglichen Systems der Reihe 

 nach multiplicirt mit den CoefOcienten der k^'" Horizontalcolumne 

 eben dieses Systemes erster Ordnung und sie darauf alle addirt. Die 

 Gleichungen zweiter Ordnung sind dann der Zahl nach vollständig, 

 wenn sämmtliche Horizontalreihen auf diese Weise verbraucht wor- 

 den. So wie aus dem System erster Ordnung das zweiter Ordnung 

 entsteht, so entsteht auch aus diesem das der dritten etc., und allge- 

 mein aus dem der ?•''"" das der (r-f-1)'''". Bezeichnet man daher die 

 Coefticienten der aus (1) abgeleiteten Systeme höherer Ordnung mit : 



Ä 



hingegen mit 



\k)r 



die, welche den aus (2) hervorgegangenen angehören, so wird die 

 Bildung des Coefficienten von ^/^ in der A'"' Gleichung des (r-j-l)""' 

 Systems der einen Galtung geschehen durch Multiplication der Terme : 



mit der correspondirenden der Reihe: 



(l)'(l)(l) o 



Sitzb. d. mathem.-aatiirw. Cl. XU. Bd. V. Hft. 64 



