über die 'llieoiie dei- liiieaieii algebraischen Gleichungen. 1003 



Wir haben aber die erwähnte Voraussetzung während der 

 ganzen Reebniing nur zu einem Scbritfe benöthiget, nämlich zur Fest- 

 setzung der Gleichungen (30) uii(l(3i) oder was dasselbe ist, der 

 (39) und Ahleitung der (42) aus denen (20) und (21) mittelst der 

 (30); zur Herstellung des verlangten Beweises wird es also genügen, 

 die Gleichungen (20) und (21) rückwärts aus denen (31), (32) 

 uiui (42) eiitsteben zu lassen, jedoch ohne die bewusste Annahme 

 dazu zu gebrauchen. Dies geschiebt nur durch eine Multiplication 

 der (42) mit %i^ und darauf folgende Sumination nach dem Stellen- 

 zeiger Ar von 1 bis n für (20) und durch dieselbe Operation aber 

 mit v^ vorgenommen für die (21); im ersteren Falle erhält man 

 mit Hülfe der Relationen (31) und (32) : 



(7)^'" '+ ( ^)."''+ (¥)/'='+ • ■ • (4)>^=V"'»^ (82) 



und im letzteren 



(t)/"''+(D.''»''+ (t)/"''"+ ■ ■ ■ (t). "»'=''•'"'"' <^^> 



also die Repräsentanten sämmtlicber Gleichungen der Systeme (20) 

 und (21) woraus sogleich folgt, dass sich die gegebenen Systeme 

 (1) und (2) mit ihren Bedingungsgleichungen (5) und (7) ersetzen 

 lassen durch die (7), (31), (31) und (42), denn der einen wie der 

 anderen sind wie leicht zu ersehen, genau so viele als es Unbekannte 

 gibt, nämlich %n'^-\-n. Die oben dargestellten Auflösungen für die 

 n und V müssen daher, schon ihrer Form nach, den ursprünglich gege- 

 benen Gleichungs-Systemen (1) und (2) Genüge leisten, es erleidet 

 demnach keinen Zweifel, dass sie dies auch dann noch thun, wenn die 

 Eliminationsgleichung in s der Wurzeln gleiche bieten sollte, es 

 fragt sich nur mehr, ob die früher ausgesprochene Vermuthung : es 

 möchten für eine doppelte oder mehrfache Wurzel nicht blos zwei 

 oder entsprechend mehrere Reihen zugehörender u und v, sondern 

 deren eine weit grössere Zahl die Gleichungen (1) und (2) erfül- 

 len, sich bestätige; dies ist in der That der Fall, Sind nändich etwa 

 zwei Wurzeln .s, und .s, einander gleich, so kann man aus den Glei- 

 chungen (67) die correspondirenden Producte ?/,,i t\i und n^r v^^ 

 nicht mehr einzeln bestimmen, sondern nur deren Summe und zwar 

 durch eine Multiplication der ersten n — 1 derselben der Ordnung 

 nach mit den jetzt durch die Relation 



(s-a) 



- = /'o + a'iS + Aosä + . . Ä„_2S"-'- (84) 



