Kleinsten bei ilen l'roMemcn der Variationsreclumng. 1025 



Dies ist die Haupt-Pointe dieser höchst merkwürdigen Jaeohischcn 

 Arbeit. Mir ist es geglückt, auf eine andere viel einfachere Weise 

 die Werthe von X zu bestimmen, wodurch sich die complicirte und 

 schwierige Transformation J a c o b i's umgehen lässt. 



§• ö. 

 Ich will vorerst den Beweis eines von Jacobi erwähnten Lehr- 

 satzes führen, der für diese Theorie von grosser Wichtigkeit ist. 

 Es sei 



if{,v,y,y',y", ... y^"^) - (12) 



eine Differentialgleichung w*"" Grades, 



y = -^ (.1-, üi, dz, «3, ... «„) (13) 



das vollständige Integrale derselben. Denkt man sich diesen Wertli 

 von y in (12) eingeführt, so erhält man eine identische Gleichung; 

 differenzirt man dann dieselbe noch irgend ein a, so erhält man: 



8j/ 8« ~'" by' 8« "■ by" 8« ' * * ' ~*~ 8(/C") 8a " ^ "^^ 



und dies ist offenbar wieder eine identische Gleichung. Setzt man: 



8 i'-l) e C-l] 



hy . \hx) \iiaJ, , 8j/' 8» 



— ^= z, so ist: = oder -^— = — 



8« ha S.r 8« 8.r 



und eben so: 



hy" 8*« 8i/"' 83« 8«/C'0 8"» 



8a 8.r2 ' 8a 8.^^ ' * " ' g« 8a;'' 



und die Gleichung (14) geht über in: 



und ist, wie man sieht, eine lineare Differentialgleichung, der genügt 

 wird für 



8/7 hy dy 8t/ 



z = - — •, z ^= — , z = — , . . . z =■■ 



8aj 8rt3 8a3 8a» 



es ist folglich das vollständige Integrale derselben : 



. = c, ^ + c.i^ + c, ^+ ... +c. ^ 



8a, ' ~ 8a2 ' Sa. ' ' 8a„ 



Kennt man daher das Integrale der Gleichung (12), so kennt 

 man auch das Integrale der Gleichung (15), vorausgesetzt, dass man 



