Kleinsten bei deu Proltlemeii der Variatiousrechnuiig-. 1031 



grationsgrenzen — - -|- m ~ = o wird, so kann man , weil für die 

 Grenzwerthe iv gleich Null ist, die obige Gleichung so schreiben: 



J Vhy'' ^ byhy' ^ hx ' 8»/'- \hx ) \ 



■I 



i — + m — 



rf-F (boy 8«! 8a., ^ \2 



dy- V hx hy by '^ J 



\- m — 



8a. 8a 



8^F 

 und hat somit ein Maximum oder Minimum, je nachdem 7— :r für alle 



. ^y 



zwischen Xi und .i*., liegenden Werthe negativ oder positiv ist. 



§.8. 

 8-r 



Ist aber r-7^ = 0, d. h. ist r= f {-v, y) -\-y'f (.v, 3/), (ein 



Fall, den Mieder Jacobi nochDelaunay einer Discussion unterzog) 

 so muss die eben angeführte Analyse abgeändert werden, denn man 

 hat statt der Differentialgleichung 



by l 8(/' J 



die sich hier so stellt : 



8^ ' •'' 8.y ■" ■ ' *^^J 



wenn man gehörig reducirt, folgende gewöhnliche Gleichung : 



'f _ ?^ = 



8^ 8.V 



aus welcher y als Function von x ohne willkürliche Constante 

 hervorgeht. Die unmittelbare Folge hiervon ist, dass die Coordinaten 

 der Grenzpunkte der gesuchten Curven nicht mehr, wie im vorher- 

 gehenden Falle willkürlich, sondern der Bedingung unterworfen 

 sind, der zuletzt aufgeschriebenen Gleichung zu genügen , d. h. mit 

 andern Worten, die Endpunkte sind Punkte der Curve, deren Glei- 

 8 /" 8 /" 



chung r^ — — = ist; findet dieses nicht Statt, so ist die Aufgabe 



oy ox ° 



unmöglich. 



Hier hat man nun: 



J \by- hßy' ) \ by'yj ( 8.y L 8,./ J j 



Xi X) Xi 



67' 



