Kleiusten bei den l'robli'iiiPii der V':iri;itionsrechnuiig'. 104o 



c 



oder, wenn man statt ~, m setzt, und bedenkt, dass für die 



Grenzen u' und ic' gleich Null werden, so hat man für den zweiten 

 Theil dieser Gleichung : 



/ 



8!/' , ^y' 



(B-%E-D')U' - ^-^ '-^y da: 



^ ^y , ^y ^ 



8a 1 8«, 



unter m eine willkürliche Constante verstanden. 



Die Kriterien für ein Maximum oder 3Iinimum sind daher hier 

 folgende : 



Die zweiten Differential-Quotienten von F dürfen innerhalb der 

 Integrationsgrenzen nicht durch unendlich gehen, ferner muss 

 B — 2E — D' für alle Werthc von x = d\ bis .r =^ .v^ stets dasselbe 

 Zeichen beibehalten, und endlich muss noch die willkürliche Con- 

 stante ?n so gewählt werden können, dass für keinen zwischen o^j 



und .Vz liegenden Werth von .y der Ausdruck -^ -\- ni-r— gleich Null 



wird. Ist nun unter diesen Umständen B—2E — D' stets positiv, so 

 hat man ein Minimum und ist es stets negativ, so hat man ein 

 Maximum. 



Wir haben endlich noch den Fall zu besprechen, wo nebstdem, 



dass „^77, = ist, auch noch die Gleichung^ — 2E — Z>' = stattfindet. 

 8^ - 



Alsdann hört die Gleichung, die zur Bestimmung von y dient, auf, eine 

 Differentialgleichung zu sein, sondern sie ist eine ganz gewöhnliche, 

 etwa von der Form y=f (.r), und jetzt können blos die Ahscissen 

 der Endpunkte beliebig gewählt werden, die Ordinalen derselben, so 

 wie die Richtung der Tangente an donseihen, folgt aus der Gleichung 

 y=<p (.y) von selbst. Man hat in diesem Falle für die Glieder der 

 zweiten Ordnung 



und da für die Grenzen w und iv' gleich Null sind: 



f 



w' (A — F -\- E!') dx 



