Ülicr die Zonenilächen. 215 



Es handelt sich somit nur mehr um die verticale Coordinate PM 

 = z^ = rF'ig. 3. Da wir aber vorausgesetzt haben, dass dieser 

 Mittelpunkt in der Zonenebene liege, diese aber auf jeder Linie des 

 grössten Falles senkrecht, es also auch auf der Linie li N Ist, so 

 sind wir leicht im Stande diese verlangte Coordinate zu bestimmen. 

 Es sei also in Fig. 4 der in unsere Tafelebene gebrachte Schnitt aus 

 Fig. 3 mit denselben Buchstaben wie dort. So ist nun MP^Zi =r 

 die zu bestimmende verticale Coordinate von M, P ist = p = 

 = |,/jy3_|_^3 der Radius der Zonenlinie der graphischen Kreis- 

 Methode, ferner OR=l und Oi\=d = 2p. Es folgt nun aus der 

 Ähnlichkeit der beiden Dreiecke 03IP und ORN die Proportion: 

 OR : ON - OP: MO 



oder statt OR , ON , OP und MPdie ihnen entsprechenden Werthe 

 gesetzt, erhält man: 



\ : 2 p == p : z, 

 woraus: 



z^ :^ r = 2p' = 2(/>^+ g^). 



Aus der Ähnlichkeit der beiden nämlichen Dreiecke kann man nun 

 auch sogleich die Grösse des Radius der Zonenkugel bestimmen. Es 

 besteht nämlich die Proportion: 



RO : RN = OP : OM 



und statt diesen wieder die ihnen entsprechenden Werthe gesetzt, 

 erhält man: 



1 :Vl + 4p' = p: ^. 

 woraus wir den Werth für den Radius R der Zonenkugel erhalten 

 als: 



Sind aber r, p und q die Coordinaten des Mittelpunktes und R der 

 Radius einer Kugel, so ist ihre Gleichung nach den Lehren der ana- 

 lytischen Geometrie des Raumes folgende: 



(.^' + py + (i/ + qy + (^ + ry = RK 

 Da aber in unserem Falle die Kugel durch den Coordinaten-Mitfel- 

 punkt geht, also ist p- -\- y"^ -\- r~ == R-, so ist die allgemeinste 

 Gleichung unserer Zonenkugel folgende : 



