über die Zonenfläclien. 23b 



Die Spitze des Kegels ist im Punkte 0', dessen Coordinaten sind 

 x^ ^ y^ — ^, z^ = \. Jede Erzeugende hat also die Gleichungen: 



X = a(z-\-\) ,y -= h.{z-\- I) , .v=-—.y = cy: 



b 



aus diesen Gleichungen erhält man nun, wenn ^ — 1 gesetzt wird, 



a,' = (^und2= . Setzt man diese beiden Werthe in unsere 



b 



erste Gleichung der Leitlinie, so erhält man : 



c^h — 2pc.{\ ~h) — 2q(^\—b)^-h = 



und da nun aus den beiden obigen Gleichungen der Erzeugenden 

 die Relationen folgen : 



so erhält man die Relation: 



y'i ' z±\ ^* y 2 + i " t-t-1 i+1 



oder nach gehöriger Reduction : 



^ä _ 22)x{z + 1 — ,</) — 'iqyi^ + 1 — ^) + ^' = 



als die Gleichung des Zonenkegels, unter den gemachten Annahmen. 

 Wollen wir aber den Mittelpunkt desselben nicht in 0', sondern in 

 haben, so haben wir statte, 2; — 1 zu setzen, wodurch wir die Gleichung : 



•^' — 2(j).r + qy)(z — y) -\- y^ = 



erhalten. Es ist dies die Gleichung unseres hyperbolischen Kegels, 

 wenn er im Coordinaten-Mittelpunkte seine Spitze hat. 

 Für 2 = — 1 erhalten wir die Gleichung : 



.r-+2(j>.r + ^//)(l +//) 4-r = <>' 



d. i. die Gleichung des Schnittes des Zonenkegels mit einer horizon- 

 talen, von um — 1 abstehenden Ebene, der Schnitt ist im Allge- 

 meinen offenbar eine Hyperbel. 



Wird j}^=0 =^ fj, dann folgt aus unserer Gleichung ,v^-\~y- = 0, 

 also offenbar eine verticale Linie die durch geht, wie es auch mit 

 der Natur der Sache ganz übereinstimmend ist. Wird /^ = und 

 dann q = 0, so erhält man die beiden Gleichungen : 



