262 Petzval. Über Herrn Spitzer'» Abhaudluiig: Die Integratiou mehrerer 



dieser beiden exponentiellen Factoren, wie dies Herr Spitzer ver- 

 möge der gemachten Substitution gethan, so verwandeln sich die 

 Asymptoten entweder in e'^**^ oder e""^*''. Ich muss mithin Reihen 

 erhalten, die in den späteren Gliedern ein Mai wie diejenige für die 

 Exponentielle e'-**' , ein ander Mal, wie die für e~'^''^ convergiren. 

 Ein jeder meiner Schüler gelangt also, ohne auch nur einen Bleistift 

 anzurühren , schon beim Anschauen der Gleichung zu demselben Er- 

 gebnisse, zu welchem Herr Spitzer mühselig mit einem mangel- 

 haften Beweise kommt; und dies zwar nicht nur bei der in Rede 

 stehenden Differentialgleichung , sondern allgemein bei einer jeden 

 beliebigen durch das wohlbekannte Verfahren der Zerlegung eines 

 oder mehrerer algebraischer Polynome in einfache Factoren. 



Ein jeder meiner Schüler sieht aber noch überdies, dass Herr 

 Spitzer hier einen grossen Missgriff gemacht hat; durch eine Trans- 

 formation nämlich , die verständig angewendet , in vielen Fällen 

 nützlich ist, aber hier ganz zweckwidrig erscheint, hat er sich sein 

 Rechnungsresultat verderbt, ohne davon kraft seines Beweises auch 

 nur das Geringste gewahr zu werden. Hätte er ohne Transformation 

 die Differentialgleichung aufsteigend integrirt , so hätte er Reihen 

 erhalten , die convergiren, wie die für e+*-^ und e~^^'. Weil er aber 

 transformirt hat, so erhält er andere Reihen, die nur, wie jene 

 für e+26x yj^jj g-2bx convergiren, also weit minder als die früheren, 

 und so, dass er gerade zwei Mal so viele Anfangsglieder zählen muss, 

 bis die seinigen auch nur zu convergiren anfangen. 



Ein einsichtsvoller Rechner wird sogar in dem Bestreben, sich 

 die vortheilhafteste aufsteigende Reihe zu verschaffen, noch weiter 

 gehen; er wird sagen, wenn man Reihen erhalten kann, die wie e*-^ 

 und e~''^ convergiren, so wird man auch zu noch convergenteren 

 Reihen gelangen, so nämlich, wie e^-^ -\- e~^^ und e^^ — e~*^, 

 oder beiläufig wie si7i b x und cos b x und wird nun darauf los- 

 gehend derselben auch wirklich theilhaftig werden. 



Wir hätten also beide, Herr Spitzer und ich, die Convergenz 

 der aufsteigenden Reihen bewiesen; zwischen den beiderseitigen 

 Beweisen jedoch waltet ein gar grosser Unterschied, der nämlich 

 zwischen falscher und wahrer Wissenschaft. Es sei mir erlaubt, 

 die Parallele etwas ausführlicher zu ziehen. 



Herr Spitzer beweist die Convergenz der aufsteigenden Reihe, 

 die man bei der Integration der folgenden Gleichung erhält: 



