102 Ditscheiner. 



§.5. 



Wenn eine Fläche in zwei Zonen liegt, wenn sie also durch 

 diese beiden Zonen bestimmt ist, so muss ihr Flächenort an die bei- 

 den , die Zonen repräsentirenden Parabeln tangiren. Es ist also die 

 Aufgabe zu lösen, an zwei gegebene Parabeln eine gemeinschaftliche 

 Tangente zu ziehen. 



Es seien also A VW nnA Ä V W Fig. 6, die die beiden Zonen 

 repräsentirenden Parabeln , so werden wir unsere Aufgabe am ein- 

 fachsten auf folgende Art lösen: Wir verbinden beide Scheiteln der 

 Parabeln (erhalten hierdurch die Richtungen der Axen derselben) 

 mit dem Coordinaten -Mittelpunkte und errichten in den Scheitel- 

 punkten A und Ä auf die Axenrichtungen AO und ÄO senkrechte 

 Linien BC und B' C , welche aber nichts anderes sind, als die 

 Neumann'schen Zonenlinien. Diese beiden Linien schneiden sich 

 nun in einem gewissen Punkt il/, der somit der Neumann'sche Flä- 

 chenort der zu bestimmenden Fläche ist, und die durch den Punkt M 

 auf die MO senkrecht gezogene Linie m7i ist somit der Flächenort 

 unserer zu bestimmenden Flächen. Dass die so erhaltene Linie an 

 beide Parabeln tangirt, bedarf wohl keines weiteren Beweises, indem 

 sie den im §. 2 gestellten Bedingungen beider Zonenlinien entspricht. 



Aber der Bedingung entsprechend, dass eine Fläche in zwei 

 Zonen liegt, kann ihre Bestimmung nicht nur wie es hier ge- 

 schehen ist, graphisch, sondern sie kann auch analytisch gemacht 

 Averden. Bestimmen nämlich die Gestalten a^:b^:c^=m^a:n^b:p^c 

 und «1 : 6i : c, == w?i n : iii b : p^ c die eine Zone, jene a" : b" : c" == 

 m" a : n" b : p" c und a" : b" : c" = m" a : ?i" b : p" c die zweite 

 Zone, so ist die durch beide Zonen bestimmte Fläche «o : bo : Co = 

 trioa: Tiob ; p^ c durch folgende Gleichungen zu berechnen : 



rio ^MP'—PM' 



Po =MN' — NM' 

 in welchen Werthen if , iV, P , M' , N'und P folgende Werthe haben : 



P,i ^1 — ^^11 Pt 



M= — 



N= — 

 P = 



m m n n 



M' = — 

 iV' = — 

 P' = 



^11 Pi — "^J*// 



^,, ^1 — ^ii "*/ 

 m. m,, w, n,. 



