über die graphische Hyperbel-Methode. 141 



und somit 



'if + Vi + ipZ + i 

 + 2V1+V 



sm a = + y ! . 1) 



+ 2/1+V 



1) Wir müssen zum Verständnisse des Ganzen hier ein wenig- in das Gebiet der ebenen 

 Trigonometrie eingreifen, um etwa P'itstehende Zweifel zu vermeiden. Unsere Glei- 

 chungen für sin a und cos a gCDen uns wie wir sehen vierWerthe, wir müssten dess- 

 halb auch vier Werthe für die Axen der Hyperbel erhalten, was eben nicht leicht 

 denkbar ist, denn es kann cos a und sin a nur einen möglichen Werth haben und es 

 fragt sich nun, welches Zeichen, das positive oder das negative, soll man in den 

 genannten Gleichungen, als das Anzuwendende ansehen. 



Da ianff 2a einen positiven Werth hat, so ist es klar, dass der Winkel von 20" 

 nur zwischen 0" und 90* oder zwischen ISO* und 270" liegen kann, somit liegt 

 auch der Winkel o nur zwischen 0" und iS** oder zwischen 90" und ISö". Für 

 alle diese Winkel ist aber sin a stets positiv und nur der cos a kann positiv und 

 negativ sein. Für diese Winkel aber liegt der sinus stets zwischen und V ^2 oder 

 zwischen 1 und y'Y^'' ^^ährend der cosinus zwischen V^Yg und 1 oder zwischen 

 und — V^Va liegen muss. Diese Eigenschaft wollen wir benützen, um unsere Zweifel 

 zu heben. 



Setzen wir also der Reihe nach p = und p= 00 (indem p aller möglichen Werthe 

 unserer Annahme zur Folge fähig ist) in die vier möglichen Werthe von : 



cosa=4-V . ; cosa.= — V -^ 7 ', 



siiia=-\-\ — - ; sin(x=-\-\^ — J ' 



so erhalten wir folgendes Schema: 



für cos =+ y . von p= bis oo wird cos a = bis ' , also a= 0" — 43", 



2Vl+4p3 



für C05 =+ y — Ton^=obisoo v irdcoä« ^ Obis — '4- also 0=900— 135», 



— 2t'l + 4;;2 



V-f ^1+47^2-1 </ 

 von ;> = bis oo wird sin a = o bis ' 4- alsoa= 0" — 450, 



2Vl+4jö2 



für «iu =-|- y von;; = obisoo wird sm a = o bis f i alsoa=900— 1 



+ 2Vi+4/y2 

 Sitzb. d. inathem.-naturw. Cl. XXVIII. ßd. Nr. 2. 10 



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