L ö f fl e r. Methode, diegr. und kl.Wertlie uiiliest. Intcgialformohi zu finden. 227 



Über die Methode, die grüssien und kleinsten Wertlie nnhe- 

 stimmter Integral formein zu finden. 



Von Alexander Löffler. 



(Mit I Tiifel.) 

 (Vorgelegt in der Sitzung am 9. Deceinber 18öS.) 



§. 1. Nachdem Euler die Bedingung angegeben hat, unter der 

 ein bestimmtes Integrale 



U = ff{xyy'....)dx 



a 



ein grösstes oder kleinstes wird, hat Lagrange dieses Resultat im 

 zweiten Bande der „Miscellanea Taurinensia" auf ganz analytischem 

 Wege erhalten. In dieser Abhandlung hat Lagrange sein Ver- 

 fahren durch nichts begründet, er sagt nur, dass ^7 = ^7 wobei 

 F= f'{.v dx d\v . . . y dy d~y . . . z dz d^z . . .) ist, zu einem Maximum 

 oder Minimum wird für dU = f()V=0. Die Entwickelung von dV 

 gibt ihm eine Gleichung von der Form 



dV=^ Adx -\- Axddx -\- A-iod'^x -\- 



+ B3y + BMy + B.dd^j + 



+ Cdz + CioV^ 4- C^'-z + 



und die Anwendung der partiellen Integrationen, bemerkend dass 

 ddx = ddx dd^x = d~dx n. s. w. ist, lieferte ihm die drei Bedin- 

 giingsgleichungen des Grössten und Kleinsten 



A — dA, -\-d^A,—^ =0 



B — dB,-^d~Bz — =-e- 



c — dc, +d~c^ — — =-e-. 



Letztere sind aber Differentialgleichungen und man weiss nicht, 

 welche Grössen bei der Integration als abhängig, und welche als 

 unabhängig veränderlich zu betrachten sind ; dann nach welcher Grösse 

 in der Gleichung U = fV integrirt werden soll. In unveränderter 



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