228 Löffler. Über die Methode, die grössten und kleinsten 



Form sind aber diese Rechnungsentwickelungen in das grosse Werk 

 von Lacroix über Differential- und Integralrechnung übergegan- 

 gen, und wurden von da aus in manche später erschienene Werke 

 verpflanzt. 



Lagrange hat noch mehrere Abhandlungen über Variations- 

 rechnung geliefert, ausser derjenigen, welche im vierten Bande der 

 Turiner Memoiren für 1766 enthalten ist, und wo er das Maximum 

 oder Minimum von ?7 sucht, sobald letztere Grösse durch eine Diffe- 

 rentialgleichung von der Form 



r rfC/ d-U dy d-y-^ 



Fl U — .... , xy — — I ="" 



L dx dx'" dx dx"-! 



gegeben ist, findet man diese Materie in der Theorie der Functionen, 

 in den Vorlesungen über Functionenrechnung und in der analytischen 

 Mechanik behandelt. — In der Theorie der Functionen erwähnt 

 Lagrange nichts von der Variation der unabhängig Variablen, aber 

 in den Vorlesungen über Functionenrechnung, wo er die Principien 

 der Variationsrechnung nach Eul er's Vorgang erläutert, behandelt 

 er auch den Fall, wenn die unabhängig veränderliche ^ einen Zuwachs 

 erhält nach zwei Methoden; die Resultate, zu denen er gelangt, lassen 

 sich aber, wie hier gezeigt werden wird, auf eine einfachere Art ab- 

 leiten. Den Ideengang von Eul er und Lagrange verfolgend, 

 gelangt man zu dem Schlüsse, dass der Variationsquotient von x und 

 der gemischte Variationsquotient von y constante Grössen sind, wo- 

 durch eben die Rechnungen abgekürzt werden können. In der analy- 

 tischen Mechanik gelangt Lagrange, sich der Methode des unendlich 

 Kleinen bedienend, zu den nämlichen Endresultaten wie in den Vor- 

 lesungen über Functionenrechnung, und diese Ableitungsweise wurde 

 in alle später erschienene Werke der Analysis, welche die Variations- 

 rechnung berücksichtigten, aufgenommen. 



Man geht dabei von der Voraussetzung aus, dass U = fVdx 

 wobei U = f{xyy' .... 2/*^"-^) ist, für SU = ein Maximum oder 

 Minimum liefert, dann diffeientirt man die Grösse Fnach der Charak- 

 teristik (5, und betrachtet diese Art der Differentiation als sich auch 

 auf die Grösse x erstreckend. Hierauf werden aber immer eine be- 

 trächtliche Anzahl von Rechnungen nur darum gemacht, weil nicht 

 berücksichtiget wird , dass dx constant ist. In dieser seiner letzten 

 Abhandlung hat Lagrange keinen Grund angegeben, warum er die 



