VVertlie unbestimmter rnteg^ralformeln zu finden. 229 



zuerst von ihm in den Turiner Memoiren gegebene Entwiekelungs- 

 weise aufgegeben. Es blieb daher noch übrig genau nachzuweisen, 

 wie sich die auf diese Art gewonnenen Resultate in die auf jene jetzt 

 allgemein gang und gebe gewordenen Ausdrücke transformiren lassen. 

 Ob es überhaupt erlaubt ist nach dem Maximum oder Minimum von 

 U zu fragen, wenn die Grenzwerthe des Integrales nicht gegeben 

 sind, mag dahingestellt bleiben; Thatsache ist es aber, dass die analy- 

 tischen Resultate öfters den aus der blossen Anschauung entspringenden 

 Auflösungen widersprechen, und im Allgemeinen die zur Restimmung 

 der Integrationsconstanten und Grenzwerthe des Integrales nöthigen 

 Daten nicht liefern. 



§. 2. Aus Nachfolgendem wird man ersehen, dass Lagrange's 

 erste Abhandlung an Klarheit gewinnt, wenn statt den Differentialien, 

 Differentialquotienten, welche in der Analysis allein einen Sinn haben, 

 eingeführt werden. Der Einfachheit wegen behalte ich nur die 

 Variablen .r und«/ bei, und schreibe statt U = fV die Gleichung 



U = fm, (I) 



wobei F= /*(a? .r' a'" y y' y" • • . .) ist und x' x" . . . y' y" . . . 



u. s. w. der Kürze wegen statt 



dx d^x dy d^y 



K ~dt~d^'''~dt'd^'''' 



geschrieben wurde. 



Die Aufgabe besteht darin, x und y als Functionen von t derart 

 zu bestimmen, auf dass V zwischen den gegebenen Grenzwerthen 

 des t genommen zu einem Maximum oder Minimum werde. Voraus- 

 gesetzt, X = f(t) y = <p (t) leisten der Aufgabe Genüge, so lasse 

 man diese Reziehungen zwischen x und t, y und t übergehen in 

 andere x = F (t i), y = [t i), unter i einen variablen Parameter 

 verstanden, der mit t derart verbunden ist, dass sich F {t i) und 

 (t i) für ^ =-6-auf /"(/) und ^ (t) reduciren. U wird hiedurch 

 zu einer Function von t und i, deren Entwickelung nach steigenden 

 Potenzen von i lehrt, dass U zu einem Maximum oder Minimum wird 



für -— - = 0, wobei i der Nulle gleich su setzen ist. Den so trans- 



di 



formirten Differentialquotienten nennt man : ersten Variationsquotienten 



