232 Löffler. Über die Methode, die grössten und kleinsten 



Differentiirt man aber die Gleichung /Zj (o.* y) = nach der 

 variablen t, so erhält man die Diflerentialgleichung 



n,' (.v) a^' -^ n,' (y) y' = 0, 

 welche nach der variablen i differentiirt 



+ ^1 C-^) -77 + y • -—H- + n, (2/) — = 



di di dl dl 



gibt, und für 2 = eine Gleichung von der Form 

 ax + boe' + cy' -\- dy' = 

 liefert, die zur Bestimmung von y als Function von x' dient. 

 Betrachten wir einen der einfachsten Fälle, wenn 



U = fVdt 



h 



und V=f {x x' y y') ist, und die Werthe von x und y sowohl 

 für t = ti als auch für i = tä bekannt sind. Die Differential- 

 gleichungen des Grössten und Kleinsten sind hier 



dx \dx') dy ^dy' ) 



deren echtes Integrale auf nachfolgende Art sich ermitteln lässt. 

 Es ist 



dV dV , , dV „ , dV , , dV „ 

 dt dx ' dx' ^ dy -^ ^ dy' ^ 



oder 



dV (dV^' , dV „ / 



— = I — I x' A x" A-\ , , . 



dy ) dy 



dV fd}\' , dV ,, fdV.' , dV „ 



woraus sich 



^ = "TT ^ + TT V + «1 

 dx' ^ dy' ^ ^ 



ergibt. 



Das eben Gesagte ist von Nutzen bei dem Aufsuchen der Linie 

 des raschesten Falles , denn bei diesem Problem erscheint die For- 

 mel, welche zu einem Minimum werden soll unter der Form 



u 



U=^ fdtVx'^ + y'' 



J. Va — v 



■h ^^ 



