236 Löffler. Über die Methode, die grössten und kleinsten 



Es ist aber üblich geworden, sie unter der Form 



(III) {ü)=(Vä^)2 +J\^m-y'ä^]-^^m-y'^^]'-^-]d^ 



zu geben. 



Wären die Grenzwerthe des j? durch die Natur der Aufgabe 

 gegeben, dann ist i-- = 0, (i/} = y, und wir erhalten 



Man wendet bekanntlich auf die Gleichung III die Integration 

 durch Theile an, und transformirt sie in 



Die Bedingungsgleichung des Grössten und Kleinsten gibt, im 

 Allgemeinen integrirt, eine Gleichung von der Form 



y = F {x üi ttz «3„). 



Es soll jetzt gezeigt werden, dass, sobald zwei Grenzcurven 

 gegeben sind, die Grenzgleichungen sich stets auf zwei reduciren, 

 und demzufolge zur Bestimmung der 2n Integrationseonstanten und 

 der zwei Grenzwerthe des Integrales , welche 2w -|- 2 Gleichungen 

 erfordern, nicht hinreichen. Stellen nämlich y = (f (jv), y = (p (j?) 

 diese Grenzcurven vor, so müssen aus diesen letzteren die Grössen 



(^), (^') (?y)^"-^ »^Is Functionen von x bestimmt werden. Die 



Substitution dieser Ausdrücke in die Gleichung 



(») = (r*);:; + [{f -(f;)' + | {ö)-y*|] + 



.r, 



transformirt diese letztere in eine von der Form {Ü) = Ufa Xz — 

 Mi *i , die unabhängig von sc.^ und x^ verschwindet für M^ = 0. 

 Mx =0, wobei zu bemerken, dassTH/j eine Function von.rg«! «3 a^n 



