Werthe unbestimmter Integralformeln zu finden. 237 



und Mi eine reine Function von .t?i «j «3 . . . . «2,, bedeutet. Strenge 

 genommen hat man an den Grenzen noch folgende zwei Gleichungen 

 (f (.Vi) = F (xi Ui a<i . . . «2„), (/> (a.\) = F (x^ «1 «2 ... . «3„), 

 aber auch diese letzteren in Verbindung mit den zwei früher erwähnten 

 reichen im Allgemeinen, die ganze Entwicklungsweise als richtig ange- 

 nommen, zur Bestimmung der 2w-f- 2 Unbekannten «j «3 . . . «o« Xi Xz 

 nicht hin. Nur wenn n = 2 ist, sollte dem ersten Anblicke nach diese 

 Bestimmung stets möglich und nie dem Sinne der Aufgabe entgegen 

 sein. In wie fern dies der Fall ist, wollen wir aus Nachfolgendem 

 ersehen. 



§. 4. Sei die kürzeste Distanz zwischen zwei Curven zu be- 

 stimmen, welche mittelst der Gleichungen y = f {x), y = <p {x) 

 gegeben sind. Hier ist 



b 



das Integrale von 



U = fdx Vi^y' 



dy \ dy' ) 



wird durch 2/ = «1 'x; -f «3 vorgestellt und 



(fr) = (F*):+|-^[ö)-2,'*] 



b 



liefert wegen {ij) = x und {ij) = — x die zwei Grenz- 



(XS^ 0/00 



gleichungen 



dx dx 



Zur Bestimmung der vier Unbekannten a^, «3, «, b erhalten wir 

 folgende Gleichungen 



1. <p («) = «1 a-\- üo ^. 1 + «, il^ = 



2. (f, (b) = üi b -\- fiz 4. 1 + «, iV = 



il/ bezeichnet den Werth von — für x = a und N den von — für 

 dx dx 



x=^b. Die Betrachtung der Gleichungen 3. und 4. lehrt, dass in 

 diesem Sinne die Aufgabe nur lösbar ist, wenn die zwei Grenzcurven 

 vor allem anderen zwei zu einander parallele Tangenten zulassen, 

 das heisst es muss M = N sein. Diese Bedingung besteht zum 



