238 Löffler. Über die Methode, die grössteii und kleinsten 



Beispiel, wenn die Grenzcurven durch zwei zu einander parallele 

 gerade Linien repräsentirt werden; denn dann ist 



y = f{^) = o.x-\- ß 



y = <p{^) = «^' + r 



M= N =a 

 und man erhält zur Bestimmung der vier Unbekannten die drei 

 Gleichungen aa-\- ß = ai a-^-a^^ab -\- y = üi b -\- ciz, i-\-aai = ö; 

 welche eine der Constanten «3 unbestimmt lassen, was der Natur der 

 Sache gemäss ist. 



Schneiden sich aber die zwei Grenzlinien , dann ist ihre 

 kürzeste Distanz der Nulle gleich; stellt man diese Linien durch 

 (p (^) = a.v -\- ß, (p {00) ^=yx-\-(i dar, so nehmen die zur Be- 

 stimmung der Constanten dienenden Gleichungen die Form an 



üx a -\- cio, = aa -\- ß 1 -|- <5fi « = 



«, 6 -f «3 = ^ 6 + /? 1 + a, r = 0. 



Die zwei letzteren können aber nicht zusammenbestehen, daher 

 ist es unmöglich eine Gerade anzugeben, welche auf beiden Grenz- 

 linien zu gleicher Zeit senkrecht steht. Ist die eine Grenzlinie eine 

 Gerade, die zweite aber eine Curve, welche als Umhüllungslinie einer 

 nach einem bestimmten Gesetze sich bewegenden Geraden angesehen 

 werden kann, so wird die Auflösung in diesem Sinne immer möglich 

 sein. — Schneiden sich aber die Grenzcurven und lassen sie 

 ausserdem zwei zu einander parallele Tangenten zu, so wäre das 

 Resultat der Analysis als unrichtig anzusehen, welches aussagt, dass 

 das Stück der Geraden , welches zwischen den Tangentenlinien ein- 

 geschlossen ist und auf letzteren senkrecht steht, die kürzeste Distanz 

 der zwei Grenzcurven ausdrückt, denn diese letztere ist der Nulle 

 gleich. Sucht man z. B. Fig. 1 die kürzeste Distanz zwischen dem 

 Kreise ^2 -j- ?/2 = r^ und der Geraden L l, die durch y = ax -\- ß 

 vorgestellt werden mag, so wird die Gerade Lo /o gefunden und dann 

 noch näher bestimmt, dass mn diese kürzeste Distanz messe. Abge- 

 sehen davon, dass der Kreis in zwei Punkten von der Geraden L l 

 geschnitten wird, sieht man ein, dass es viele Stücke wie/zv gibt, 

 die Theile von Linien sind, welche auf den Grenzcurven nicht senk- 

 recht stehen, und kürzer sind als mn. 



§. 5. Bekanntlich geschieht die Bestimmung der Integrations- 

 Constanten sobald die Grenzwerthe des Integrales durch die Natur 



