Werthe unbestimmter Integralformeln zu fimleii. 239 



der Aufgabe gegeben sind, auf eine ganz andere Art. Ist nämlicb 

 das bestimmte Integrale 



[j = fVdx 



gegeben , wobei V = f {x y y'} und für a? = a und x = b, 

 y = A und y = B bekannt ist, so gibt die Integration der Be- 

 dingungsgleiehiing des Grössten und Kleinsten y =^ ip (je «, a-z). 

 Die Constanten a^ «3 sind dann mittelst den zwei Gleichungen 

 A = (f (a «1 «2) B = (f (b «1 «2) zu bestimmen; aber eben dies 

 unterliegt öfters den grössten Schwierigkeiten; man muss dann das 

 Problem bedeutend modificiren, um wenigstens irgend eine Bestim- 

 mung dieser Grössen zu erhalten. 



Die Aufsuchung der Linie, welche zwei Punkte verbindet, und 

 um die Abscissenaxe rotirend gedacht wird, die Fläche mit der 

 kleinsten Oberfläche erzeugt, führt zur Bestimmung des Minimums von 



6 



ü =fydx Vi-i^y'2. 



a 



In diesem Falle ist V= y Vi -^y"^ und da diese Grösse kein x 

 enthält, so ergibt sich das erste Integrale der Gleichung 



dy \dy'J 



dV 1 



aus der Entwickelung von F= w' 1 . 



^ -^ dy' ^ ay 



Wir erhalten auf diese Art 1 -\- y'"^ = ih^y"^ und hieraus 



dy 



.^ + 



•■=/; 



Vay^y^-i 

 Da aber 



C dy \ r a,dy ^ a ' C ^ 



I — = / — = A rcsin Uix y) 



jVcn^y-i — \ aiV—ljVi—ary^ «i /— 1 



ist, so ist das vollständige Integrale der Differentialgleichung des 

 Minimums repräsentirt durch 



«1 2/ = ««'" [G^' 4- «2) «1 f =T]. 

 Sie gibt 



«1 (-p + "d p"i (■'■ + "3) ( 



y 



2 «1 V— 1 



