Werthe unbestimmter Intewralformeln zu finden. 241 



Da aber auch so die Auflösung nicht gelingt, so suche man die 

 Coordinaten des tiefsten Punktes der Linie 



Man findet x = ^ä^äTl (— ), y = 2^^«, a^. 



Nun wähle man unter allen die zwei Punkte verbindenden 

 Kettenlinien, jene deren tiefster Punkt mit dem zweiten gegebenen 

 Punkte zusammenfällt. 



Unter diesen Umständen hat man zur Bestimmung der Constanten 

 die zwei Gleichungen A = cii -\- a^ B = 2 ^«i «3 die 



^^ = 1 1^^ + Va^ — B^ ] «3 = i [^ + Va^^ — 53 ] 



geben. Die obere Grenze b des Integrales ist nicht mehr willkürlich, 

 denn man hat 



B , i A + Va^^B^ 

 = — / 



a — Va^ — b^ 



Die Gleichung der Kettenlinie erscheint endlich unter der 

 Gestalt 



y = }-YA-VA^.-B-] e^^^[A^VÄ^ZrW] e'^. 



Wird hier die durch die Gleichung 



B { A ^Va-' — B'' 



X = X -\ l { ■ 



2 { A— VA^ — Bi 



ausgedrückte Coordinaten -Verschiebung vorgenommen, so gelangt 

 man zu der einfachsten und allgemein bekannten Gleichung der 

 Kettenlinie 



§. 6. Es wurde schon im §. 2 gezeigt, wie das Problem der 

 Brachystochrone, dem von Lag ränge in den Turiner Memoiren 

 vorgetragenen Ideengang gemäss aufgelöst werden kann, wenn die 

 Werlhe von x und y für ^1 und ti bekannt sind. 



