242 Löffler. Über die Methode, die grössten und kleinsten 



Jetzt wollen wir einen Blick auf die Auflösungen dieses Prob- 

 lemes werfen, welche nach der Entdeckung der Variationsrechnung 

 veröff'entlicht wurden. Bekanntlich wurde dies Problem von Johann 

 Bernouilli den bedeutendsten Geometern seiner Zeit in folgender 

 Gestalt vorgelegt. 



Zwei in derselben Ebene, aber nicht in der nämlichen verticalen 

 oder horizontalen Linie gelegene Punkte sind gegeben, man soll 

 unter allen sie verbindenden Linien jene angeben, auf welcher ein 

 von der Schwere getriebener materieller Punkt in der kürzesten Zeit 

 vom höher gelegenen ausgehend den tiefer gelegenen erreicht. 



Lagrange hat im zweiten Bande der alten Turiner Memoiren 

 dieses Problem verallgemeinert, indem er annahm, die zwei Punkte 

 seien beliebig im Räume gelegen. Er legt in der erwähnten Abhand- 

 lung diese Aufgabe mit folgenden Worten vor: Soit cherchöt la 

 courbe brachystochrone dans le viiide. Nommant x Vnbscisse verti- 

 C(de et y et z les deux ordonnees horizontales et perpendiculaires 

 Vune ä l'autre, la formule qui exprime le tems sera 



I 



Vdx^ + dy^ + dz^ 



Aus der von ihm gebrauchten Fomel, welche zu einem Minimum 

 werden soll, ist ersichtlich, dass er sich den Ursprung der Coordi- 

 naten in dem höher gelegenen Punkt verlegt dachte; die Coordinate 

 X wurde als Höhenordinate betrachtet, um leichter die Differential- 

 gleichungen des Minimums integriren zu können. Dann wird noch 

 vorausgesetzt, dass die Ordinaten x der gesuchten Curve, vom 

 Ursprünge der Coordinaten nach abwärts gezählt, als positiv zu 

 betrachten sind. 



Unter diesen Voraussetzungen Gndet man immer für die Ge- 

 schwindigkeit des materiellen Punktes v = ^2gx und 



VtgJ Vx 



Die Brauchbarkeit dieser Formel lässt sich noch in einem 

 anderen Falle nachweisen, und Lagrange hat im vierten Bande 

 der alten Turiner Memoiren die Sache so dargestellt, als wenn er 

 sie blos unter dieser Supposition aufgestellt hätte. 



