Werthe unbestimmter Infegralformeln zu finden. 243 



(Fig. 2.) Hat nämlich ein materieller Punkt ß in M von der 

 Abscissenaxe OZ frei fallend, die Geschwindigkeit i\ = ^'^(jh erlangt, 

 so kömmt ihm im Punkte// die Geschwindigkeit v = ^2(j£c zu, und da 



ist, so gelangen wir wieder zur Formel 





V2^ . V^ 



Ohne in dieses Detail einzugehen, hat Lagrange in den oben 

 erwähnten Memoiren das Minimum von 



"-/ 



7^ 



gesucht unter der Voraussetzung, dass die zwei Punkte, zwischen 

 welchen die Brachystochrone verzeichnet werden soll, auf zwei Curven 

 sich befinden, welche durch ibre Gleichungen gegeben sind. Er 

 fand, dass die Brachystochrone auf den beiden Grenzcurven senk- 

 recht zu stehen habe; dies zeigt uns gleich, dass die erste Grenz- 

 curve im Widerspruche mit der Voraussetzung nicht vollkommen 

 willkürlich sein kann , sondern vielmehr derart beschaffen sein muss, 

 dass sie einen tiefsten oder höchsten Punkt besitze, von dem aus die 

 Bewegung zu beginnen hätte. 



§. 7. Herr von Ettingshausen hat in seinen Vorlesungen 

 über analytische Mechanik dieses Problem ebenfidls behandelt, und da 

 er zu einem ganz anderen Endresultate gelangt, so wollen wir in 

 Kürze den von ihm befolgten Ideengang auseinandersetzen. 



Es wird vor allem anderen angenommen, dass der materielle 

 Punkt keine Anfangsgeschwindigkeit besitze, und gesucht, unter 

 welchen Bedingungen dieser Punkt von der ersten Grenzcurve aus- 

 gehend die zweite erreicht. 



Die Coordinaten werden in der in Fig. 3 verzeichneten Stellung 

 angenommen. Bedeutet h die Ordinate des ersten Punktes der Brachy- 

 stochrone, so erlangt der materielle Punkt in M (\\e Geschwindigkeit 



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