246 Löffler. Über die Methode, die grössten und kleinsten 



Statt , sobald die Curve MN in die ihr sehr nahe liegende mn 

 übergeht. 



§. 8. Im vierten Bande der alten Turiner Memoiren hat La- 

 grange dieses Problem von Neuem einer Bearbeitung unterzogen, 

 und gelangte zu Besultaten , die von den Mathematikern als voll- 

 kommen richtig angenommen werden. 



Die äusserst dunkle Methode, deren er sich bei der Auflösung 

 dieser Aufgabe bedient hatte, werden wir hier verlassen, und nur 

 zeigen, wie man den in den Vorlesungen über Functionenrechnung 

 aufgestellten Begriffen gemäss, zu den von Lag ränge in diesem 

 Memoire gewonnenen Grenzgleichungen gelangen kann. Um dies 

 Problem zu lösen, welches wörtlich folgendermassen vorgelegt wurde: 

 „Etant donnees cCespece et de posifion deux courbes quelconqiies 

 placees dans im meme plan, on demande de trouver un troisieme 

 courbe , sur laquelle un Corps pe'satit puisse descendre de Vune ä 

 Vautre des deiioe courbes donnees dans le plus petit tems jjossibles" ; 

 wollen wir eine kleine allgemeine Entwickelung voranschicken. 



Sei gegeben U = f f (x y y' k) da) unter k eine Grösse ver- 

 standen, die von der Ordinate und Abscisse der vorläufig unbekann- 

 ten unteren Grenze des Integrales abhängt. Man denke sich U werde 

 für y = <p (^) zu einem Minimum, und diese letztere Function von 

 a? gehe über in y = F (^x i), die für i =-0- sich auf die ursprüng- 

 liche zu reduciren hat; dann sehe man noch x und k als Functionen 

 von i an, und differentiire nach dem variablen Parameter ^, so 

 erhält man 



^-ß 



dV dx dV dy , dV dy' , dV dk \ , 



1 r -\ — -\ 7] d<ü 



dx di dy di dy' di dk di f 



für i = 



('^)=/(S- + f« + fc^)' + ^'^)"- 



oder auch 



('»-/*S- + /fe.* + f*1- + ^/5- 



