250 Löffler. Über die Methode, die ffrössten und kleinsten 



Wird der aus der Gleichung der Cycloide abgeleitete Werth 

 von y' für x = a gleich Bi und für x = l gleich 3Ii gesetzt, so muss 

 man, um zu La gr a n g e's Endresultaten zu gelangen, obige Gleichung 

 in nachfolgende verwandeln 



[da^ + y' (dy)]'- [S.v - (yt ^k + y' (.»]„ =^ 

 oder anders geschrieben 



[dl + M, Sm] — [da — dk (Mi - B,) + B^ dh] = 0. 



Ich glaube, dass der Theorie der bestimmten Integrale zufolge 

 der mit dk multiplicirte Theil nur unter der Form Mi — Bi erscheinen 

 darf. Lag ränge aber gab ihm die Gestalt Bi — Mi und erhielt auf 

 diese Art die Gleichung 



[dl + Ml dm] — [da — dk (Bi — M^) + ß, dh] = 0, 

 die er in nachfolgende zwei zerfällte 

 dl -\- Midm = 

 da — dk (Bi — Ml) -\-Bidb =- 0. 



Es werden nun in diesem Memoire zwei Suppositionen gemacht, 

 die erste von ihnen heisst h = h, dann ist k = 0, dk = und obige 

 Grenzgleichungen geben 



dl -^ Ml dm ^-^ da-\- Bldb = ^^ 



das heisst, wenn der materielle Punkt von der Abscissenaxe frei 

 herabfällt, so schneidet er beide Cui'ven unter einem rechten Winkel. 



Dies ist im Allgemeinen ganz unmöglich, denn das erste Element 

 der Cycloide ist vertical, ihre Basis ist horizontal; der Anfangspunkt 

 der Bewegung zwischen S und T ist zu gleicher Zeit der erste 

 Punkt der Cycloide, und seine Tangentenlinie muss parallel mit der 

 Ordinatenaxe Oy sein , daher muss die Tangentenlinie an die erste 

 Grenzcurve parallel mit X sein. 



Dann macht Lagrange die Supposition , dass die initiale 

 Geschwindigkeit des sich bewegenden Körpers im Punkte iS* der 

 Nulle gleich ist; er setzt zu dem Ende h = 0, wodurch k = b und 

 dk =^ db wird. Die Gronzgieichungen verwandeln sich in diesem 

 Falle in 



da -\~ 3Iiob = ol-i- 3Iidm = 



und zeigen, dass die Cycloide mit horizontaler Basis die Grenzcurven 

 unter rechten ^^'illkeln zu schneiden habe, und zwar soll die ßrachy- 

 stüchrone in solchen Punkten von den Grenzcurven geschnitten 



