Werthe unhestimmler Integralformeln zu finden. 251 



werden, auf dass die an diese Ctirven in den Durchschnittspunkten 

 errichteten Tangentenlinien zu einander parallel seien. Hieraus folgt 

 aber auch, dass die an die Cycloide gezogenen zwei Tangentenlinien 

 mit einander parallel laufen müssen, da aber ein halber Cycloiden- 

 bogen kein paar solcher Tangentenliiiien besitzt, so ist die Auflösung 

 des Problemes in diesem P'alie ganz illusorisch. Die eben gemachte 

 Bemerkung behält ihre volle Giltigkeit in Bezug auf die Auflösung 

 des Herrn von Ettingshausen. 



Endlich verdient noch eine Thatsache eine kleine Besprechung, 

 sie bezieht sich auf die allgemeinsten Besultate der Grenzgleichungen, 

 welche Lagrange in der mehrmals erwähnten Abhandlung ge- 

 wonnen und aus denen sich folgender Satz ergeben würde. 



Fallt der materielle Punkt von der Abscissenaxe frei herab, so 

 schneidet die von ihm beschriebene Brachystochrone die Grenzcurven 

 unter rechten Winkeln; sobald aber der materielle Punkt von einer 

 grösseren oder geringeren Höhe herabfällt, findet dieses für die erste 

 Grenzcurve nicht mehr Statt. 



Ich glaube, dass, wenn dies auch gezeigt werden kann. Niemand 

 mehr Zweifel über die Unrichtigkeit der mittelst der Grenzgleichungen 

 gewonnenen Besultate haben wird. 



Wir fanden früher ganz allgemein 



dl -f 31, dm = da — dk (B, — M,) -]- B,db = 0. 



Lag ränge setzt h als irgend eine Function von a und b voraus, 

 demnach ist h = <p (« b) und k = b — <p (ab), woraus sich durch 

 Differentiation nach der Charakteristik d, ok = db — Gda — Hdb 

 ergibt. 



Unsere Grenzgleichungen verwandeln sich in 



dl-Y 3/, dm = 



da[\^G (B, — i/,)] + 3b [M, + H(B, — M,)] = 0. 



Die Curve PSR gibt für den Punkt S, Sb =eda und die 

 Linie Lrt7 für F die Gleichung dm=7]dl, demnach erhalten wir 

 im Allgemeinen folgende zwei Grenzgleichungen 



1 ^G{B,—M,)-\-slMy -\-E{B,—M,)^ =0 



Wird hier = und H = \ gesetzt , was eben heisst den 

 materiellen Punkt von der Abscissenaxe frei fallen zu lassen, so geben 



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