Werthe uiiheülimiiitei' (iitegralfuniieln /,u liiiileii. 203 



Wir erhalten auf diese Art nur eine Bedingungsgleichung für 

 die Grenzen der ßraehystochrone, die aussagt, dass die Cycloide die 

 zweite senkrechte unter einem rechten Winkel schneidet. Übrigens 

 lehrt die Anschauung, dass in diesem Falle unendlich viele Braehy- 

 stochronen zwischen L l und ü l construirt werden können, die 

 L V unter rechten Winkeln schneiden; die erste Grenzlinie L l 

 repräsentirt in diesem Falle die gemeinschaftliche Tangentenlinie an 

 alle Ausgangspunkte der Bewegung. L a c r o i x hat in seinem grossen 

 Werke unter Differential- und Integralrechnung bei der Behandlung 

 dieser Aufgabe die Variation von A nicht berücksichtiget und gelangte 

 auf diese Art zu der Grenzgleichung 



die ihm nachfolgende zwei Mi = Q , Bi = lieferte. Jedermann 

 sieht aber, dass es keinen halben Cycloidenbogen einer und der- 

 selben Brachystochrone gebe, welcher obigen zwei Gleichungen 

 Genüge leisten könnte. 



Man mag daher die Anfangsordinate variiren oder nicht variiren 

 lassen, in keinem Falle gelangt man zu einem befriedigenden End- 

 resultate. 



Zweck dieser Abhandlung ist zu zeigen, welches die wahre 

 Theorie der Lagrange'schen Darstellungsweise der Variations- 

 rechnung im zweiten Bande der Turiner Memoiren ist, dann, dass 

 die hier gegebene für die analytische Mechanik, in welcher die 

 Coordinaten eines Punktes stets als Functionen der Zeit betrachtet 

 werden, von Nutzen ist. W^eiters wurde nachgewiesen, dass die 

 Grenzgleichungen, sobald die Grenzwerthe des Integrales unbekannt 

 sind, keineswegs zur Bestimmung der Integrationsconstanten hin- 

 reichen, endlich gezeigt, dass sie in dem Falle, wenn unter dem 

 Integralzeichen nur die erste derivirte von y in Bezug auf a? vor- 

 kömmt, auch nur scheinbar zu dieser Bestimmung genügen; da Auf- 

 gaben mittelst ihnen höchst mangelhaft aufgelöset werden. 



Dann wurde gezeigt warum die Herren von Ettingshausen 

 und Burg, von den nämlichen Suppositionen ausgehend, bei dem 

 Probleme der Brachystochrone zu divergenten Endresultaten gelangt 

 sind; und zuletzt, wenn ich nicht irre, nachgewiesen, dass die von 

 Lagrange gegebene Auflösung dieses Problemes im vierten Bande 

 der alten Turiner Memoiren unrichtig ist. 



