Über die graphische Kreis-Methode. 311 



x = x' cos (x' . x) -f- y' . cos (y' .x) -f- %' . cos (%' . x), 

 y = x 1 cos (x' . y) -f- y' . cos (y' .y) -f- z' . cos («' . y), 

 z = x' cos (x' .z) -f- y ' . cos (y' . z ) -f- z' . cos (z' . z) ; 



dabei finden bei den neun Winkeln folgende sechs Bedingungsglei- 

 chungen Statt: 



cos 2 (x' .x) -f- cos 2 (x' .y) -f- cos 2 (x'.z) = 1, 

 cos 2 (y' . x) -f- cos 2 (y . y) + cos 2 (y'.z) = 1, 

 cos 3 («' .a?) + cos 3 (»' . ?/) + cos3 ( z ' • Ä ) == 1» 

 und 



cos (a?' . a?) . cos (2/' . a?) -f- cos (a?' . i/) . cos (y' . y) -f- 



-J- cos (a?' . z) . cos (y' . z) = 

 cos (a/ . x) . cos (z' . z) -f- cos (a/ . y} . cos (V . y) -f- 



-|- cos (a?' . 2;) . cos (V . 2) = 

 cos (y' . a?) . cos (V . a?) -|- cos (y' . y) . cos (z' . y) 



-j- cos (y' . z) . cos (z' . z) = , 



so dass von diesen neun Winkeln sofort nur drei willkürlich und von 

 einander unabhängig sind. 



Zwei dieser Winkel ergeben sich schon aus der, zur neuen 

 geraden Endfläche angenommenen Krystallfläche, indem sie nichts als 

 die Neigungen der auf diese Fläche gezogenen Normalen gegen die 

 alten Coordinatenaxen sind; der dritte Winkel wird angenommen und 

 muss in jedem speciellen Falle selbst bestimmt werden. Man ist sodann 

 leicht imStande die übrigen zur Bestimmung von x, y und z nöthigen 

 Winkel zu bestimmen. Sind die Winkel bestimmt, so ist man nun 

 leicht im Stande für irgend einen Punkt M bei gegebenen Coordi- 

 naten x, y und * in Bezug auf das alte System jene des neuen 

 Systems zu berechnen. 



Soll nun die Gleichung der Ebene ma:nb:pc in Bezug auf das 

 neue System bestimmt werden, so geht diese Ebene in Bezug auf das 

 alte System offenbar durch folgende drei Punkte 



Mii x / = m, y / = 0, z, = 0, 



M z ; x u = 0, y lt = n, z u = 0, 

 M s ; x ltl = 0, y ui = 0, z tll --= p. 

 Wir erhalten also für die Coordinaten dieser Punkte in Bezug 

 auf das neue System gewisse Werthe, welche z. B. folgenden ent- 

 sprechen : 



