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Die Wendepunkte theilen die Curve in Stücke, in deren 

 Bereiche die Tangentenrichtung u sich nur in einem Sinne ändert 

 (entweder nur wächst, oder nur abnimmt). Für solche Curvenstücke 

 benützt der Verfasser die Benennung Bogen im Gegensatze zu dem 

 bisherigen Sprachgebrauche, dem zu Folge ein jedes beliebige Stück 

 einer Curve als Bogen bezeichnet wird. 



Daran knüpfen sich nun mancherlei sehr interessante Folge- 

 rungen. 



Ein Bogen kann von einer geraden Linie in höchstens zwei 

 Punkten geschnitten werden. Je zwei unmittelbar aufeinander fol- 

 gende Bogen einer Curve haben einen Wendepunkt gemeinschaftlich, 

 sind aber in Bezug auf die in ihnen stattfindende Änderung der Tan- 

 gentenrichtung ungleichartig, insoferne u im Bereiche des einen Bo- 

 gens im Wachsen, im anderen aber im Abnehmen begriffen ist. Zwei 

 solche Bogen, die einen gemeinschaftlichen Wendepunkt haben, kön- 

 nen von einer geraden Linie höchstens in drei Punkten geschnitten 

 werden. Allgemein werden n — 1 auf einander folgende Bogen einer 

 Curve, die durch Wendepunkte zusammenhängen, mit einer geraden 

 Linie höchstens n Punkte gemeinschaftlich haben können. Die Ver- 

 theilungsart der Durchschnittspunkte auf den einzelnen Bogen lässt 

 mehrere verschiedene Fälle zu, deren Anzahl aber dadurch beschränkt 

 ist, dass kein Bogen mehr als zwei , ferner zwei unmittelbar auf- 

 einanderfolgende Bogen nicht mehr als drei Durchschnittspunkte, 

 allgemein, r auf einander folgende Bogen, höchstens r-\-i Durch- 

 schnittspunkte aufweisen können. 



Würden mit den )i — 1 unmittelbar auf einander folgenden Bogen, 

 welche mit einer geraden Linie n reelle Punkte gemeinschaftlich 

 haben kann, noch andere Bogen folgen , so kann man aus der Eigen- 

 schaft, dass eine Curve der u^'° Ordnung mit einer geraden Linie 

 höchstens w reelle Punkte gemeinschaftlich schliessen, dass sie alle' 

 von der Geraden nicht geschnitten werden. Es müssen demnach 

 sowohl der erste, als auch der letzte der erwähnten ii—i Bogen einen 

 eigenthümlichen Lauf einschlagen, verschieden von dem aller übrigen, 

 so zwar, dass die Fortsetzung der Curve über den ersten und über 

 den letzten dieser n — 1 Bogen hinaus ausser den Bereich der 

 schneidenden Geraden fällt. 



Auf diesem Wege gelangt der Verfasser zu dem neuen Begriffe: 

 Zone. Die Zone hat einen vollkommen bestimmten Anfangspunkt 



