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eine Wendetangente zu jener Curve L der Gruppe , welche mit TT 

 durch denselben Punkt des Gebildes W geht. Das vorausgesetzte 

 System von Geraden ist also das System der Wendetangenten aller 

 Curven der Gruppe, deren Wendepunkte in dem Gebilde TF liegen. 

 Diese Wendetangenten gehen entweder durch einen Punkt oder 

 tangiren ein Gebilde ß. 



Nach diesen Untersuchungen geht der Verfasser über zu den 

 Punkten der stärksten und der schwächsten Krümmung. Gleichwie 

 die Betrachtung der Änderungen der Tangentenrichtung u als Aus- 

 gangspunkt bei den früheren Untersuchungen gedient und zu mehreren 

 wichtigen Sätzen geführt hat; ebenso lassen sich die Änderungen, 

 denen der Krümmungsradius beim Fortschreiten auf einer Curve 

 unterliegt, zum Gegenstande der Betrachtung erwählen und zur Ab- 

 leitung neuer Gesetze benützen. 



An dem Wendepunkte besitzt der Krümmungsradius stets einen 

 unendlich grossen Werth; im Bereiche eines Bogens aber finden nur 

 stetigeÄnderungen desselben Statt, wobei sein Vorzeichen unverändert 

 bleibt. Hieraus folgt nun nothwendig, dass im Bereiche eines jeden 

 Bogens mindestens ein Maximum oder Minimum des Krümmungs- 

 radius stattfindet. Die Anzahl der Maxima und Minima im Bereiche 

 eines Bogens kann aber auch grösser sein, als Eins, ist jedoch noth- 

 wendig eine ungerade Zahl. In den Punkten der Curve, in welchen 

 der Krümmungsradius ein Maximum oder ein Minimum ist, bestehen 

 zwischen den Coordinaten x, y und der zugehörigen Tangenten- 

 richtung n folgende drei Gleichungen: 



(L) F = 



(2)„_i) — - cos u -A sin u = 



dx (hj 



U= I - — stnu —cosu 11 cos-u-^-ö cosii.sin"u-\- 



ydx dv )\dx^ ' dxdn^ ' 



d^F . . d^F 



et x* (l P \ 



(,^) -\- 3 -— - — cos n . sin - u A sin^ u ] -j- 



'^ ^ dx^dxj dyS J * 



, ^ Yfd^F d^F^^ . , d^ F . 1 



-H o I I — r I COSU . sm n A {cos" n — sin'^ n) \ X 



\_^dy^ dx^'J dx dy \ 



\(d^F . , „ d-'F . rPF , 1 



X I \-—iStn"tiA- l cosu . smu A, sin'^u 1 . 



\y dx^ dx dy dy'- J 



